北师大初中数学九年级上册反比例函数的性质1教案文档

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝kx的图象经过点B（x0，y0），则k的值为.解析：∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA⊥y轴.又∵点B（x0，y0）是反比例函数y＝kx图象上的一点，则有S正方形OABC＝|x0y0|＝|k|，即1＝|k|.∴k＝±1.又∵点B在第二象限，∴k＝－1.方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k|的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k的符号.三、板书设计反比例函数的性质性质当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小当k＜0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k的几何意义通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.

解：（1）根据题意，可得y＝100025x，化简得y＝40x；（2）根据题设可知自变量x的取值范围为0＜x＜85.方法总结：反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解.三、板书设计反比例函数概念：一般地，如果两个变量x，y之间 的对应关系可以表示成y＝kx（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x的反比例函数，反比例函数 的自变量x不能为0确定表达式：待定系数法建立反比例函数的模型结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维.利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学习数学的兴趣.

2、某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？3、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： （1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据表达式完成上表。教师巡视个别辅导，学生完毕教师给予评估肯定。II巩固练习：限时完成课本“随堂练习”1-2题。教师并给予指导。七、总结、提高。（结合板书小结）今天通过生活中的例子，探索学习了反比例函数的概念，我们要掌握反比例函数是针对两种变化量，并且这两个变化的量可以写成 （k为常数，k≠0）同时要注意几点：：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当 可写为 时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应 的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。

因为反比例函数的图象经过点A（1.5，400），所以有k＝600.所以反比例函数的关系式为p＝600S（S>0）；（2）当S＝0.2时，p＝6000.2＝3000，即压强是3000Pa；（3）由题意知600S≤6000，所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝ ，当压力F一定时，p与S成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.三、板书设计反比例函数的应用实际问题与反比例函数反比例函数与其他学科知识的综合经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.

解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y＝kx的图象上，∴5＝k1，即k＝5，∴反比例函数的解析式为y＝5x.又∵点（1，5）在一次函数y＝3x＋m的图象上，∴5＝3＋m，即m＝2，∴一次函数的解析式为y＝3x＋2；（2）由题意，联立y＝5x，y＝3x＋2.解得x1＝1，y1＝5或x2＝－53，y2＝－3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－53，－3）.三、板书设计反比例函数的图象形状：双曲线位置当k＞0时，两支曲线分别位于　　　第一、三象限内当k＜0时，两支曲线分别位于　　　第二、四象限内画法：列表、描点、连线（描点法）通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.

补充题：为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?答案：(1)y＝ x， 010，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.

观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点？学生小组讨论，弄清上述两个图象的异同点。交流讨论反比 例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图象是轴对称图形吗?如果是，请指出它的对称轴.二、随堂练习课本随堂练习 [探索与交流]对于函数 ， 两支曲线分别位于哪个象限内？对于函数 ，两支曲线又分别位于哪个象限内？怎样区别这两个函数的图象。学生分四人小组全班探索。 三、课堂总结在进行函数的列表，描点作图的活动中，就已经渗透了反比例函数图象的特征，因此在作图象的过程中，大家要进行积极的探索 。另外，（1）反比例函数的图象是非线性的，它的图象是双曲线；（2）反比例 函数y= 的图像，当k＞0时，它的图像位于一、三象限内，当k＜0时，它的图像位于二、四象限内；（3）反比例函数既是中心对称图形，又是轴对称图形。

问题6：观察刚才所画的图象我们发现反比例函数的图象有两个分支，那么它的分布情况又是怎么样的呢？在这一环节中的设计：（1） 引导学生对比正比例函数图象的分布，启发他们主动探索反比例函数的分布情况，给学生充分考虑的时间；（2） 充分运用多媒体的优势进行教学，使用函数图象的课件试着任意输入几个k的值，观察函数图象的不同分布，观察函数图象的动态演变过程。把不同的函数图象集中到一个屏幕中，便于学生对比和探究。学生通过观察及对比，对反比例函数图象的分布与k的关系有一个直观的了解；（3） 组织小组讨论来归纳出反比例函数的一条性质：当k>0时，函数图象的两支分别在第一、三象限内；当k<0时，函数图象的两支分别在第二、四象限内。

若a，b，c都是不等于零的数，且a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，求k的值.解：当a＋b＋c≠0时，由a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，得a＋b＋b＋c＋c＋aa＋b＋c＝k，则k＝2（a＋b＋c）a＋b＋c＝2；当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.此时k＝a＋bc＝－cc＝－1.综上所述，k的值是2或－1.易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a＋b＋c≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a＋b＋c＝0这种情况.三、板书设计比例的性质基本性质：如果ab＝cd，那么ad＝bc如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么ab＝cd等比性质：如果ab＝cd＝…＝mn（b＋d＋…＋n≠0），　　 那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.

请写出 推理过程：∵ ，在两边同时加上1得， + = + .两边分别通分得： 思考：请仿照上面的方法，证明“如果 ，那么 ”．（3） 等比性质：猜想 （ ），与 相等吗？能 否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）等比性质：如果 （ ），那么 ＝ ．思考：等比性质中，为什么要 这个条件？三、 巩固练习：1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为2.5米 ，那么，该建筑的高是多少米？2．若 则 3．若 ，则 四、 本课小结：1．比例的基本性质：a:b=c:d ；2. 合比性质：如果 ，那么 ；3. 等比性质：如果 （ ），五、 布置作业：课本习题4.2

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知△BC′D≌△BCD，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10.方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．三、板书设计矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形　　　 叫做矩形矩形的性质四个角都是直角两组对边分别平行且相等对角线互相平分且相等经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.

1. _____________________________________________2. _____________________________________________你会计算菱形的周长吗？三、例题精讲例1．课本3页例1例2．已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.四、课堂检测：1．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．2．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 4．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个6.在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积

探究点三：正比例函数的性质已知正比例函数y＝－kx的图象经过一、三象限，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)三点在函数y＝(k－2)x的图象上，且x1>x3>x2，则y1，y2，y3的大小关系为()A．y1>y3>y2 B．y1>y2>y3C．y1y2>y1解析：由y＝－kx的图象经过一、三象限，可知－k>0即kx3>x2得y10时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小．三、板书设计1．函数与图象之间是一一对应的关系；2．作一个函数的图象的一般步骤：列表，描点，连线；3．正比例函数的图象的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．已知函数的表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．理解一次函数的表达式与图象之间的一一对应关系．

四、教学设计反思这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生．在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象．在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境 引入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至对部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主题，如提出问题：正比例函数的代数形式是y=kx，那么，一个正比例函数对应的图形具有什么特征呢？

在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2(cm)，∴FC＝AC－AF＝2－1(cm)，∴BE＝2－1(cm)．方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，求证：AP＝EF.解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.证明：连接AC，PC，如图．∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF.方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．

1）正方形的边长为4cm，则周长为（ ），面积为（ ） ，对角线长为（ ）；2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为（ ）， 周长为（ ），面积为（ ）3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。4） 1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等 B、对角线互相垂直平分 C、对角互补 D、对角线相等. 5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等 B对角线互相垂直平分 C对角线平分一组对角 D对角线相等. 6）、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________． 7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/ 5四：范例讲解：1、（课本P21例1）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写2、 如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证：BG=CE

雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线．问题1：这些曲线能否用函数关系式表示？问题2：如何画出这样的函数图象？二、合作探究探究点：二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质【类型一】 二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法及特点在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：(1)y＝x2；(2)y＝－x2.根据图象分别说出抛物线(1)(2)的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标．解析：利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．解：列表如下：x y) －2 －1 0 1 2y＝x2 4 1 0 1 4 y＝－x2 －4 －1 0 －1 －4 描点、连线可得图象如下：(1)抛物线y＝x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为(0，0)；(2)抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为(0，0)．方法总结：画抛物线y＝x2和y＝－x2的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】 在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()解析：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的点(0，c)，∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象从左向右上升，故C选项错误；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象从左向右下降，故A选项错误，D选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】 二次函数y＝ax2＋c的图象与三角形的综合

解析：(1)已知抛物线解析式y＝ax2＋bx＋0.9，选定抛物线上两点E(1，1.4)，B(6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a、b的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y＝1.575时，对应的x的两个值，从而可确定t的取值范围．解：(1)由题意得点E的坐标为(1，1.4)，点B的坐标为(6，0.9)，代入y＝ax2＋bx＋0.9，得a＋b＋0.9＝1.4，36a＋6b＋0.9＝0.9，解得a＝－0.1，b＝0.6.故所求的抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；(2)157.5cm＝1.575m，当y＝1.575时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.575，解得x1＝32，x2＝92，则t的取值范围为32＜t＜92.方法总结：解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．三、板书设计二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的应用

(3)设点A的坐标为(m，0)，则点B的坐标为(12－m，0)，点C的坐标为(12－m，－16m2＋2m)，点D的坐标为(m，－16m2＋2m)．∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－16m2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m2＋2m)＝－13m2＋2m＋12＝－13(m－3)2＋15.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝3米时，“支撑架”的总长有最大值为15米．方法总结：解决本题的关键是根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．三、板书设计二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系3．二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课堂真正成为学生展示自我的舞台．充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.