北师大初中九年级数学下册二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1教案

二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教案

1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；(重点)

2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．(难点)

一、情境导入

学生观看图片

雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线．

问题1：这些曲线能否用函数关系式表示？

问题2：如何画出这样的函数图象？

二、合作探究

探究点：二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质

【类型一】二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法及特点

在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：

(1)y＝x2；(2)y＝－x2.

根据图象分别说出抛物线(1)(2)的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标．

解析：利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．

解：列表如下：

描点、连线可得图象如下：

(1)抛物线y＝x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为(0，0)；

(2)抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为(0，0)．

方法总结：画抛物线y＝x2和y＝－x2的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的增减性

二次函数y＝(m＋1)x2的图象过点(－2，4)，则m＝________，这个二次函数的解析式为________，当x<0，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)；当x>0，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．

解析：将点(－2，4)代入y＝(m＋1)x2中得出m＝0.所以二次函数解析式为y＝x2.故当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．故答案分别为0；y＝x2；减小；增大．

方法总结：此类题的关键在于确定用二次函数的解析式，根据图象性质分析函数值的增减性得出答案．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型三】二次函数y＝x2与一次函数的综合

已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．

解析：联立两解析式构成方程组方程组的解即为交点坐标．

解：由题意得解得或所以直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．如图，连接AO、BO.∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，∴CO＝4.∴S△ACO＝CO4＝8，S△BOC＝41＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.