北师大初中九年级数学下册二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1教案

二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教案

1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系；(重点)

2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：

当c>0时，向上平移c个单位长度；

当c<0时，向下平移－c个单位长度．

问题：函数y＝ (x－2)2的图象，能否也可以由函数y＝ x2平移得到？本节课我们就一起讨论．

二、合作探究

探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质

【类型一】二次函数y＝a(x－h)2的图象

顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为()

A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2

C．y＝－(x＋2)2 D．y＝－(x－2)2

解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2，把a＝－，h＝2代入y＝a(x－h)2得y＝－(x＋2)2.故选C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】二次函数y＝a(x－h)2的性质

若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．

解析：∵抛物线y＝3(x＋)2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，∴x＜－时，y随x的增大而减小；x＞－时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.

方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型三】二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系

将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是()

A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位

C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位

解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.

方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型四】二次函数y＝a(x－h)2与三角形的综合

如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A、B两点，试求S△ABC.

解析：根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标；联立两函数的解析式，可求得A、B的坐标．画出草图后，发现△ABC的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．

解：抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得解得所以点A的坐标为(6，16)，点B的坐标为(0，4)．

如图，过A作AD⊥x轴，垂足为D，则S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC＝(OB＋AD)OD－OCOB－CDAD＝(4＋16)6－24－416＝24.

方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

【类型五】二次函数y＝a(x－h)2的探究性问题

某抛物线是由抛物线y＝－2x2向左平移2个单位得到．

(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；

(2)设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B.

①求线段AB的长及直线AB的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样的点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：(1)抛物线y＝－2x2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y＝－2(x＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A和B点的坐标，然后根据A，B两点的坐标即可求出直线AB的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．

解：(1)y＝－2(x＋2)2，图略；

(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y＝－2(x＋2)2，可得A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根据勾股定理可得AB＝2.设直线AB的解析式为y＝kx－8，已知直线AB过A点，则有0＝－2k－8，k＝－4，因此直线AB的解析式为y＝－4x－8；

②本题要分三种情况进行讨论：当AB＝AC时，此时C点的纵坐标的绝对值即为AB的长，因此C点的坐标为C1(－2，2)，C2(－2，－2)；当AB＝BC时，B点位于AC的垂直平分线上，所以C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍，因此C点的坐标为C3(－2，－16)；当AC＝BC时，此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B作BD垂直于抛物线的对称轴于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A点横坐标的绝对值)，CD＝8－AC，而BC＝AC，由此可根据勾股定理求出AC＝，因此这个C点的坐标为C4(－2，)．

综上所述，存在四个点，C1(－2，2)，C2(－2，－2 )，C3(－2，－16)，C4(－2，－)．

方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．