北师大初中九年级数学下册二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质1教案

二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质教案

1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；(重点)

2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；(重点)

3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象．观察这两个函数图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些相同和不同之处？你能由此说出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象之间的关系吗？本节就探讨二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质．

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2的图象与性质

关于二次函数y＝2x2，下列说法中正确的是()

A．它的开口方向是向下

B．当x<0时，y随x的增大而减小

C．它的对称轴是x＝2

D．当x＝0时，y有最大值是0

解析：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，∴此抛物线开口向上，A选项错误；∵抛物线y＝2x2的对称轴为y轴，当x＜0时，函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，B选项正确，C选项错误；∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，D选项错误．故选B.

方法总结：解答本题的关键是结合图象熟记二次函数y＝ax2的性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

探究点二：二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

【类型一】二次函数y＝ax2＋c的图象与y＝ax2的图象的关系

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()

A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到

B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到

C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到

D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到

解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.

方法总结：熟记二次函数y＝ax2(a≠0)图象平移得到y＝ax2＋c图象的规律：“上加下减”．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()

解析：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的点(0，c)，∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象从左向右上升，故C选项错误；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象从左向右下降，故A选项错误，D选项正确．故选D.

方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型三】二次函数y＝ax2＋c的图象与三角形的综合

如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．

解析：令抛物线解析式中y＝0求出x的值，确定出A点与B点的坐标，进而求出线段AB的长，△ABP可看作是以AB为底，P点的纵坐标的绝对值为高的三角形，根据已知面积求出高即为P点纵坐标的绝对值，代入解析式求出对应x的值，即可确定出P点坐标．

解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．

综上所述，P点的坐标为(，2)或(－，2)或(，2)或(－，2)．

方法总结：解决本题的关键是会求二次函数与x轴的交点坐标以及掌握坐标系中三角形面积的求法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题

三、板书设计

二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质

1．二次函数y＝ax2的图象与性质

2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

3．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的应用