北师大初中九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1教案

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质教案

1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标；(重点)

2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？

二、合作探究

探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

【类型一】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的性质

若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3

C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C.

方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置与各项系数符号的关系

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)．

解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；因为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③.

方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数图象的综合

在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()

解析：若函数y＝mx＋m中的m＜0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误，D选项正确；若函数y＝mx＋m中的m＞0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－＝－＝－＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误．故选D.

方法总结：熟记一次函数y＝ax＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

【类型四】二次函数y＝ax2＋bx＋c与几何图形的综合

已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△MCB的面积S△MCB.

解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物线的解析式先求出点M和点B的坐标，可将S△MCB化为其他图形面积的和差来解．

解：(1)依题意可知解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)令y＝0，得(x－5)(x＋1)＝0，解得x1＝5，x2＝－1，∴点B的坐标为(5，0)．由y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，得点M的坐标为(2，9)．作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB＝S梯形MEOB－S△MCE－S△OBC＝(2＋5)9－42－55＝15.

方法总结：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型五】二次函数y＝ax2＋bx＋c的实际应用

跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD之间且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t的取值范围．

解析：(1)已知抛物线解析式y＝ax2＋bx＋0.9，选定抛物线上两点E(1，1.4)，B(6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a、b的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y＝1.575时，对应的x的两个值，从而可确定t的取值范围．

解：(1)由题意得点E的坐标为(1，1.4)，点B的坐标为(6，0.9)，代入y＝ax2＋bx＋0.9，得解得故所求的抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；

(2)157.5cm＝1.575m，当y＝1.575时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.575，解得x1＝，x2＝，则t的取值范围为＜t＜.