6. 例二:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小. 解:由已知PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内∴PA⊥BC∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC内,∴BC⊥平面PAC又PC在平面PAC内,∴PC⊥BC又∵BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°7.面面垂直定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,平面α与β垂直,记作α⊥β8. 探究:建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细绳紧贴墙面,工人师傅被认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面,这种方法说明了什么道理?
1.观察(1)如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么?(2)随着时间的变化,影子BC的位置在不断的变化,旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直?经观察我们知道AB与BC永远垂直,也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。一般地,如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直,我们就说l垂直α,记作l⊥α。2.定义:①文字叙述:如果直线l与平面α内的所有 直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做交点.②图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.③符号语言:任意a?α,都有l⊥a?l⊥α.
1.观察(1)如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么?(2)随着时间的变化,影子BC的位置在不断的变化,旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直?经观察我们知道AB与BC永远垂直,也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。一般地,如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直,我们就说l垂直α,记作l⊥α。2.定义:①文字叙述:如果直线l与平面α内的所有 直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做交点.②图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
1.探究:根据基本事实的推论2,3,过两条平行直线或两条相交直线,有且只有一个平面,由此可以想到,如果一个平面内有两条相交或平行直线都与另一个平面平行,是否就能使这两个平面平行?如图(1),a和b分别是矩形硬纸板的两条对边所在直线,它们都和桌面平行,那么硬纸板和桌面平行吗?如图(2),c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行,那么三角尺与桌面平行吗?2.如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行,这两个平面不一定平行。我们借助长方体模型来说明。如图,在平面A’ADD’内画一条与AA’平行的直线EF,显然AA’与EF都平行于平面DD’CC’,但这两条平行直线所在平面AA’DD’与平面DD’CC’相交。3.如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面是平行的,如图,平面ABCD内两条相交直线A’C’,B’D’平行。
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45°。我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面。如平面α,平面β等。并将它们写在代表平面的平行四边形的一个内角内;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母表示。如图1也可以表示为平面ABCD,平面AC或平面BD。4.思考1:我们知道,两点可以确定一条直线,那么几点可以确定一个平面?基本事实一:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面。不共线三点确定一个平面(确定平面依据)直线上有无数个点,平面内有无数个点。直线、平面都可以看成点的集合。点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B?l;点A在平面α内,记作A∈α,点P在平面α外,记作P?α。5.练习二:把下列语句用集合符号表示,并画出直观图.(1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上;6.思考二:如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?如果直线l与平面α有两个公共点呢?
9.例二:如图,AB∩α=B,A?α, ?a.直线AB与a具有怎样的位置关系?为什么?解:直线AB与a是异面直线。理由如下:若直线AB与a不是异面直线,则它们相交或平行,设它们确定的平面为β,则B∈β, 由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α,因此平面平面α与β重合,从而 , 进而A∈α,这与A?α矛盾。所以直线AB与a是异面直线。补充说明:例二告诉我们一种判断异面直线的方法:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。10. 例3 已知a,b,c是三条直线,如果a与b是异面直线,b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明.解: 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面.如图(1)(2)(3).总结:判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两条直线不可能在同一平面内.
知识探究(一):向量的概念 定义:既有大小又有方向的量统称为向量。把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等。注:1.向量两要素:大小,方向2.向量与数量的区别:①数量只有大小,可以比较大小。②向量有方向,大小双重属性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大小。知识链接:物理学中常称向量为矢量,数量为标量。你还能举出物理学中的一些向量和数量吗?练习一:在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中,_____________是数量_______________是向量.练习二:1.身高是一个向量( ) 2.温度含零上和零下温度,所以温度是向量( )3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( ) 知识探究(二):向量的表示思考:对于一个实数,可以用数轴上的点表示,而且不同的点表示不同的数量。那么,该如何表示向量呢?思考:根据情景二,你发现位移是怎样表示的?向量怎样表示?几何表示法:
6.例二:如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中,O’为底面A’B’C’D’的中心,求证:AO’⊥BD 证明:如图,连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四边形BB’DD’是平行四边形∴B’D’//BD∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角连接AB’,AD’易证AB’=AD’又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD7.例三如图所示,四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.解:取BC中点O,连接OE,OF,如图。∵E,F分别是AB,CD的中点,∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角∵BD,AC所成角为60°,∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,∴OE=OF=1当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=
2.异面直线夹角:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a,b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角(或夹角)3.如果两条异面直线夹角为90°,那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°4.想一想:在平面几何中,垂直于同一直线的两直线互相平行,在空间中这个结论还成立吗?不成立反例如图。5.练习一1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同.( )2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.( )注意: 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
二、探究新知一、空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量(OP) ?来表示.我们把向量(OP) ?称为点P的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取(AB) ?=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得(AP) ?=ta,即(AP) ?=t(AB) ?.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使(OP) ?=(OA) ?+ta, ①或(OP) ?=(OA) ?+t(AB) ?. ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.1.下列说法中正确的是( )A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的答案:B 解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.
跟踪训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.(2)∵(BD_1 ) ?=(-1,-1,1),(EB_1 ) ?=(1/2 "," 1/2 "," 1),∴(BD_1 ) ?·(EB_1 ) ?=(-1)×1/2+(-1)×1/2+1×1=0,∴(BD_1 ) ?⊥(EB_1 ) ?,∴BD1⊥EB1.证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1/2 "," 1/2 "," 0),B1(1,1,1).(1)∵(BD_1 ) ?=(-1,-1,1),(AC) ?=(-1,1,0),∴(BD_1 ) ?·(AC) ?=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0.∴(BD_1 ) ?⊥(AC) ?,∴BD1⊥AC.例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明(D_1 M) ?与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明(D_1 M) ?与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明(D_1 M) ?与法向量共线,从而证得结论.证明:(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,所以(D_1 M) ?=(D_1 B_1 ) ?+(B_1 M) ?=(DA) ?+(DC) ?+1/2 (B_1 B) ?,而(B_1 E) ?=(B_1 B) ?+(BE) ?=(B_1 B) ?-1/2 (DC) ?,于是(D_1 M) ?·(B_1 E) ?=((DA) ?+(DC) ?+1/2 (B_1 B) ?)·((B_1 B) ?-1/2 (DC) ?)=0-0+0-1/2+1/2-1/4×0=0,因此(D_1 M) ?⊥(B_1 E) ?.同理(D_1 M) ?⊥(B_1 F) ?,又因为(B_1 E) ?,(B_1 F) ?不共线,因此D1M⊥平面EFB1.
学科名称数学教学课题9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质所属专业药学授课班级12中药3授课时数1本节(课)教学目标知识目标: (1)会判断空间两直线垂直; (2)能说出直线与平面垂直的判定方法; (3)能使用三角板模拟垂直测量仪测量笔(直线)与桌面(平面)是否垂直; (4)能由线面垂直说出平面的两条垂线互相平行,能由线面垂直说出垂线与平面内的直线垂直。 能力目标: 通过线面垂直的判定与性质逐步建立线线垂直、线面垂直的空间概念,在增强识图能力的同时发展线线垂直、线面垂直的空间想象能力. 情感态度价值观: 通过生活实例的模拟体会数学的应用性,并逐步提高数学学习的积极性。学情分析对理论知识学习有畏难情绪,对互助或实践所学知识有兴趣、记住率高。学生间在能力、兴趣、基础知识掌握上差距比较大。 学习过直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及所成的角。对知识掌握较好的学生可以实现知识的顺利过渡:线线垂直线面垂直面面垂直; 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角为90°时即为垂直。 “如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行. ”这个知识点有可能导致学生在判断直线与平面垂直的时候只考察平面内的一条直线而不是两条相交直线。教学重点和难点 内 容解 决 措 施教学重点直线与平面垂直的判定方法与性质.互助、实践教学
可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。经过前面的讨论我们得到一个基本事实基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行(用来判断空间中两条直线是否平行)2.例一 如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。证明:连接BD∵EH是△ABD的中位线∴EH//BD,且EH=1/2BD同理FG//BD,且FG=1/2BD∴EH//FG且EH=FG∴四边形EFGH为平行四边形在例一中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?菱形分析:在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。4.练习一如图,在三棱柱中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______5.练习二如图,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1,的中点.求证:四边形B1EFD为平行四边形.总结:证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系,它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习,而在坐标系下,运用代数方法即坐标法,是一种新的观点和方法,需要学生理解和感悟。两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的,并且研究讨论的手段和方法也相类似,因此,在教学时采用对比方法,以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是,当两条直线中有一条不存在斜率时,容易得到两条直线垂直的充要条件,这也值得略加说明.A 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.
知识探究(一):普查与抽查像人口普查这样,对每一个调查调查对象都进行调查的方法,称为全面调查(又称普查)。 在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体。为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体。问题二:除了普查,还有其他的调查方法吗?由于人口普查需要花费巨大的财力、物力,因而不宜经常进行。为了及时掌握全国人口变动状况,我国每年还会进行一次人口变动情况的调查,根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况。像这样,根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和判断的方法,称为抽样调查(或称抽查)。我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本量。
本节内容是平面向量的加法,由物理中的位移和力的合成导入,学习平面向量的加法法则以及加法的运算律这些知识点,为平面向量的减法做铺垫。1.数学抽象:利用位移和力的合成将平面向量具体化;2.逻辑推理:通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模:掌握平面向量加法法则,利用向量的运算解决实际问题。4.直观想象:通过有向线段直观判断平面向量的加法运算;5.数学运算:能够正确计算和判断向量的加法运算;6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程,让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成各个面的面积的和,棱柱棱锥棱台的表面积就是围成他们的各个面的面积和直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同,直观图通常是在平行投影下得到的平面图形2.例一:如图,四面体P-ABC的各棱长均为a,求他的表面积。解:因为△PBC是正三角形,其边长为a,所以S△PBC= 因此四面体P-ABC的表面积3.练习一:现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直),它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.4.棱柱、棱锥、棱台的体积我们以前已经学习了特殊的棱柱—正方体、长方体的体积公式,他们分别是(a是正方体的棱长)(a,b,c分别是长方体的长、宽、高)。一般地,如果棱柱的底面积是S,高为h,那么这个棱柱的体积 如果一个棱柱和棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥体积的三倍。因此,一般地,如果棱锥的底面积为S,高为h,那么该棱锥的体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图,可以得到它们的表面积公式:2.思考1:圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?3.练习一圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方体,那么这个圆柱的侧面积是( )A 4πS B 2πS C πS D 4.练习二:如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.5. 圆柱、圆锥、圆台的体积对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
对数与指数是相通的,本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念,通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质;2、掌握对数式与指数式的相互转化;数学学科素养1.数学抽象:对数的概念;2.逻辑推理:推导对数性质;3.数学运算:用对数的基本性质与对数恒等式求值;4.数学建模:通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.重点:对数式与指数式的互化以及对数性质;难点:推导对数性质.教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。教学工具:多媒体。一、 情景导入已知中国的人口数y和年头x满足关系 中,若知年头数则能算出相应的人口总数。反之,如果问“哪一年的人口数可达到18亿,20亿,30亿......”,该如何解决?要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.2节《对数的运算》。其核心是弄清楚对数的定义,掌握对数的运算性质,理解它的关键就是通过实例使学生认识对数式与指数式的关系,分析得出对数的概念及对数式与指数式的 互化,通过实例推导对数的运算性质。由于它还与后续很多内容,比如对数函数及其性质,这也是高考必考内容之一,所以在本学科有着很重要的地位。解决重点的关键是抓住对数的概念、并让学生掌握对数式与指数式的互化;通过实例推导对数的运算性质,让学生准确地运用对数运算性质进行运算,学会运用换底公式。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。1、理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化;2、了解常用对数与自然对数的意义,理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。
在线
客服