人教A版高中数学必修一对数的运算教学设计（1）

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、温故知新

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

（二）、探索新知

问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

探究一：对数的运算性质

回顾指数幂的运算性质：

，，．

把指对数互化的式子具体化：

设，，于是有．

根据对数的定义有：，，．

于是有对数的运算性质：

如果，且时，M>0，N>0，那么：

（1）；（积的对数等于两对数的和）

（2） ；（商的对数等于两对数的差）

（3）；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）

1．思考辨析

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )

(2)loga(xy)＝logaxlogay.( )

(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．( )

[答案] (1)√ (2) (3)

例1．求下列各式的值

（1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（4725）

解：（1）log84＋log82＝log88＝1.

（2）log510－log52＝log55＝1

(3) log2（4725）= log2219 =19

跟踪训练1 计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg ；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；

(3).

[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2

＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝＝＝＝.

探究二：换底公式

问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？

把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？

探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：，根据对数的性质，有：，

所以．

即．其中，且，，且．

公式 ；称为换底公式．

用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．

在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。

由换底公式可得2=，

利用计算工具，可得=，

由此可得，大约经过7年，B地景区的

游客人次就达到2001年的2倍，类似地，

可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，

…所需要的年数。

例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，

它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川

发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2

设里利用计算工具可得，

虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。

跟踪训练2求值：

(1)log23log35log516；

(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．

[解] (1)原式＝＝＝＝4.

(2)原式＝

＝＝＝.

温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。

通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数运算性质。深化对对数运算性质的理解。

通过换底公式的推导及应用，发展学生数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养；