人教A版高中数学必修一无理数指数幂及其运算性质教学设计（2）

无理数指数幂及其运算性质教学设计（2）

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.

课程目标

1. 理解无理数指数幂的概念;

2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；

3. 掌握实数指数幂的运算性质；

4. 能利用已知条件求值.

数学学科素养

1.数学抽象：无理数指数幂的概念；

2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；

3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；

4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；

5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。

重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．

难点：能利用已知条件求值．

教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用?

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本107-108页，思考并完成以下问题

(1)无理数指数幂的含义是什么？

(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的 实数 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

2．实数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈R．

(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．

四、典例分析、举一反三

题型一 指数幂的运算性质化简求值

例1化简求值

(1)

(2)(a－2b－3)(－4a－1b)(12a－4b－2c)

(3).【答案】(1)64 (2)－ (3)

【解析】(1)原式＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1(12a－4b－2c)

＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

＝－ac－1＝－.

(3)原式＝.

解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪训练一

1、化简求值

（1）

（2）(a>0).

【答案】（1） （2）1

【解析】（1）原式=

(2)原式=[][]==a0=1.

题型二 条件求值

例2 已知(a>0),求下列各式的值:

(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.

【答案】（1）3 （2）7 （3）

【解析】(1)将的两边平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.

(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.

(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.