用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册

课程目标

学科素养

A. 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.

B.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.

C.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.

D.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.

1.数学抽象：直线的方向向量与平面的法向量

2.逻辑推理：直线、平面平行关系的判定；

3.数学运算：空间向量的坐标运算解决直线、平面的平行关系.

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢?

二、探究新知

一、空间中点、直线和平面的向量表示

1.点的位置向量

在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.

2.空间直线的向量表示式

如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta, ①

或+t. ②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

1.下列说法中正确的是( )

A.直线的方向向量是唯一的

B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量

C.直线的方向向量有两个

D.平面的法向量是唯一的

答案:B 解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.

3.空间平面的向量表示式

如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

4.平面的法向量

如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a=0}.

点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.

2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是( )

答案:D 解析: =(2,-1,-3)=-3,故选D.

3.若两个向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为( )

A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)

答案:A

解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).

二、空间中直线、平面平行的向量表示

点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.

4.若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x= ,y= .

答案:-12；15

解析:因为两条直线平行,所以a∥b.于是,解得x=-12,y=15.

5.若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是 .

答案:平行

解析:因为un=(-1,2,-3)(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.

例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.

思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.

解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),

E,B(1,1,0),于是

,=(1,1,0).

设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),

则n⊥,n⊥,于是

取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).

延伸探究：本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?

解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1n2=0,所以n1⊥n2.

利用待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

1.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=,试建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量;

(2)求平面SAB的一个法向量;

(3)求平面SCD的一个法向量.

解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).

(1)∵SA⊥平面ABCD,

∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.

(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,

∴=,0,0是平面SAB的一个法向量.

(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).

设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,∴

得方程组

令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).

例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.

证明: (方法1)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),=(-3,2,1),=(-3,2,1),

即PQ∥RS.

(方法2)

即RS∥PQ.

利用空间向量证明线与线平行的方法

要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.

证明:以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方 体的棱长为1,

D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),

∴=(1,0,1),=(-1,1,0),设=(a,b,c),

取=(1,1,-1).易知=(-1,-1,1),∴=-,

∴,即PQ∥BD1.

例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.

思路分析思路一:可证明是共面向量;

思路二:可证明与平面A1BD中的是共线向量;思路三:可通过平面A1BD的法向量来证明.

证明:(方法1)∵

=,

∴是共面向量.

又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法2)∵

又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为1,则可求得

M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).

于是=(1,0,1),=(1,1,0).

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).

∵n=(1,-1,-1)=0,∴⊥n.

又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

利用空间向量证明线面平行的方法

(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.

(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.

(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.

3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=, AF=1,M是线段EF的中点.

求证:AM∥平面BDE.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是,(0,0,1).

所以.

又点A,M的坐标分别是(,0),,

所以.

所以,且A∉NE,所以NE∥AM.

又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.

例4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.

解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,

则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则Q(0,1,m).

(方法1)因为=(-1,-1,1),所以,

于是OP∥BD1.

=(-1,0,m),

当m=时,,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ,

故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

(方法2).

设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),

则有n1⊥,n1⊥,因此

取x=1,则n1=(1,1,2).

又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m).

设平面D1BQ的法向量为n2=(x,y,z),

则有n2⊥,n2⊥,因此

取z=1,则n2=(m,1-m,1).

要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2,

因此,解得m=,这时Q.

故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

利用空间向量证明面面平行的方法

(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;

(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.

求证:平面AMN∥平面EFBD.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),B(2,3,0),

M(1,0,4),N,E,F(1,3,4).

=(-1,0,4),=(-1,0,4).

∴.∴MN∥EF,AM∥BF.

∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.

又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.

金题典例：如图,在正方体ABCD-ABCD中,求证:平面ABD∥平面BDC.

解题提示:证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.

证明:(方法1) 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,1),

于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),

设平面ABD的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则n1⊥,n⊥,即

令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面ABD的一个法向量为n1=(-1,1,-1).

设平面BDC的法向量为n2=(x2,y2,z2).

则n2⊥,n2⊥,即

令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC的一个法向量为n2=(-1,1,-1).

所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面ABD∥平面BDC.

(方法2)由方法1知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),

所以,即AD∥BC,AB∥DC,

所以AD∥平面BDC,

AB∥平面BDC.又AD∩AB=A,

所以平面ABD∥平面BDC.

(方法3)同方法1得平面ABD的一个法向量为n1=(-1,1,-1).

易知=(1,1,0),=(0,1,1).

因为n1=(-1,1,-1)(1,1,0)=0,

n1=(-1,1,-1)(0,1,1)=0,

所以n1也是平面BDC的一个法向量,

所以平面ABD∥平面BDC.

点睛：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.

创设问题情境，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的位置关系，并提出运用空间向量解法立体几何的问题，实现将空间几何问题代数化的基本思想

由基本问题出发，让学生感受到空间向量语言与立体几何的对应关系，实现将立体几何问题向量化。发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决立体几何问题的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标运算在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则( )

A.l1∥l2 B.l1⊥l2

C.l1,l2相交但不垂直 D.不能确定

答案:A 解析:因为,所以a∥b.又直线l1,l2不重合,所以l1,l2平行.

2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )

A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行

C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交

答案:B 解析:因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.

3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

答案:D 解析:因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.

4.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m= .

答案:-8 解析:设a=(2,m,1),b=.因为l∥α,所以a⊥b.于是2+m+2=0,则m=-8.

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点, 求证:(1)FC1∥平面ADE;

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),

所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).

(1)(方法1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥,

即得令z1=2,则y1=-1,

所以n1=(0,-1,2).因为n1=-2+2=0,所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(方法2)设=λ+μ,则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),

所以解得=0,所以是共面向量.又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(2)=(2,0,0).

设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥,n2⊥,

得

令z2=2,则y2=-1,所以n2=(0,-1,2).

因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。