空间向量及其运算的坐标表示教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册

课程目标

学科素养

A.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
B.掌握空间向量运算的坐标表示
C.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
D.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题

1.数学抽象：空间向量运算的坐标表示

2.逻辑推理：空间向量垂直与平行的坐标表示及应用；

3.数学运算：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.

二、探究新知

一、空间直角坐标系与坐标表示

1.空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底a,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135(或45),∠yOz=90.三个坐标平面把空间分成八个部分.

2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.

2.点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.

3.向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).

小试牛刀

1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为 .

(3,2,-1)

答案:向量的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.

思考：在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点P的坐标有何关系?

二、空间向量运算的坐标表示

1.空间向量的坐标运算法则

设向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),λ∈R,那么

(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃) ;(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃) ;(λa₁,λa₂,λa₃) ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:

设A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂),则=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁).

即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),则

(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔ (λ∈R);

(2)a⊥b⇔ ⇔ .

a₁=λb₁,a₂=λb₂,a₃=λb₃ ;ab=0 ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

点睛：当b的坐标中b₁,b₂,b₃都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔

4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),则

(1)|a|== ;

(2)cos<a,b>== ;

(3)若P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),则P₁,P₂两点间的距离为||= .

小试牛刀

1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=  ,3m-n=  ,(2m)(-3n)= .

(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168

解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),

(2m)(-3n)=(2,-6,10)(6,-6,12)=168.

2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ= ,若a⊥b,则 λ= .

4 ;-

解析:若a∥b,则有,解得λ=4.若a⊥b,则ab=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-.

3.已知a=(-,2,),b=(3,6,0),则|a|=,a与b夹角的余弦值等于 .

答案:3

解析:|a|==3,a与b夹角的余弦值cos<a,b>=.

例1在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA₁=4,D为A₁B₁的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.

思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将用基底表示,即得坐标.

解:由已知AO⊥OB,O₁O⊥OA,O₁O⊥OB,从而建立以方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图,则=4i,=2j,=4k,=-2i-j-4k,故的坐标为(-2,-1,-4).

-()==-4i+2j-4k,

故的坐标为(-4,2,-4).

即=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4).

用坐标表示空间向量的步骤如下:

跟踪训练1.如图,在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分别为D₁C₁,B₁C₁的中点,若以{}为基底,则向量的坐标为 ,向量的坐标为 ,向量的坐标为.

(1,1,1)

解析:因为,所以向量的坐标为.

因为,

所以向量的坐标为.

因为,所以向量的坐标为(1,1,1).

例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).

(1)求-2;

(2)若点M满足,求点M的坐标;

(3)若p=,q=,求(p+q)(p-q).

思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.

解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以=(-3,5,-4),=(-1,0,9).

所以=(-4,5,5)，又=(-4,5,5),=(3,-5,4),

所以-2=(-10,15,-3)，又=(-3,5,-4),=(1,0,-9),

所以=-3+0+36=33.

(2)由(1)知,(-3,5,-4)+(1,0,-9)=,

若设M(x,y,z),则=(x-1,y+2,z-4),

于是解得故M.

(3)由(1)知,p==(-1,0,9),q==(-4,5,5).

(方法1)(p+q)(p-q)=|p|²-|q|²=82-66=16.

(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.

空间向量的坐标运算注意以下几点:

(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.

(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.

(3)运用公式可以简化运算:(a b)²=a²2ab+b²; (a+b)(a-b)=a²-b².

跟踪训练2在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5).

(1)求顶点B,C的坐标;

(2)求;

(3)若点P在AC上,且,求点P的坐标.

解:(1)设B(x,y,z),C(x₁,y₁,z₁),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x₁-x,y₁-y,z₁-z).

因为=(4,1,2),所以解得所以点B的坐标为(6,-4,5).

因为=(3,-2,5),所以解得所以点C的坐标为(9,-6,10).

(2)因为=(-7,1,-7),=(3,-2,5),所以=-21-2-35=-58.

(3)设P(x₂,y₂,z₂),则=(x₂-2,y₂+5,z₂-3),=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),于是有(x₂-2,y₂+5,z₂-3)=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),

所以解得故点P的坐标为

例3已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=

(1)若|c|=3,c∥,求c;

(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.

思路分析(1)根据c∥,设c=λ,则向量c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;

(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.

解:(1)∵=(-2,-1,2)且c∥,∴设c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).

∴|c|==3|λ|=3,解得λ=1.

∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).

∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)(ka-2b)=0,

即(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k²+k-10=0,解得k=2或k=-.

向量平行与垂直问题主要题型

(1)平行与垂直的判断;

(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.

跟踪训练3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).

(1)若a∥b,分别求λ与m的值;

(2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.

解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),

∴解得∴λ=,m=3.

(2)∵|a|=,且a⊥c,∴化简,得解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).

例4如图,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA₁=2,M,N分别是AA₁,CB₁的中点.

(1)求BM,BN的长.

(2)求△BMN的面积.

思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.

解:以C为原点,以CA,CB,CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).

则B(0,1,0),M(1,0,1),N.

反思感悟向量夹角与模的计算方法

利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.

跟踪训练4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分别为A₁D₁,BB₁的中点,则cos∠EAF= ,EF= .

解析:以A为原点,AB,AD,AA₁分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则

E,F,∴,

∴cos<>=,∴cos∠EAF=,EF=||=

一题多变——空间向量的平行与垂直

典例在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点E是棱D₁D的中点,点P,Q分别为线段B₁D₁,BD上的点,且3,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值.

解:如图所示,以点D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),

E0,0,,B(1,1,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1),

由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),

因为3,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),

所以3a-3=-a,解得a=,所以点P的坐标为,1.

由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),

因为PQ⊥AE,所以=0,所以(b-,b-,-1)(-1,0,)=0,

即-(b-)-=0,解得b=,所以点Q的坐标为(,0),

因为=λ,所以(-1,-1,0)=λ(,0),所以=-1,故λ=-4.

延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B₁Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何?

解:以点D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,点Q的坐标为(c,c,0),因为B₁Q⊥EQ,所以=0,

所以(c-1,c-1,-1)c,c,-=0,即c(c-1)+c(c-1)+=0,4c²-4c+1=0,

解得c=,所以点Q的坐标为,0,

所以点Q是线段BD的中点,所以=-2,故λ=-2.

延伸探究2本例中若点G是A₁D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD₁,试判断点H的位置.

解:以点D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,因为点G是A₁D的中点,所以点G的坐标为,0,,

因为点H在平面xOy上,设点H的坐标为(m,n,0),

因为=m-,n,-,=(-1,-1,1),且GH∥,所以,解得m=1,n=.

所以点H的坐标为1,,0,所以点H为线段AB的中点.

创设问题情境，引导学生体会运用坐标法，实现将空间几何问题代数化的基本思想

由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系，类比平面向量及其坐标运算，从而学习空间向量及其坐标运算。

通过对空间向量坐标表示的学习，让学生感受空间向量坐标化的基本原理和方法，发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标运算在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。