空间向量及其运算教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册

课程目标

学科素养

A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；

B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；

C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.

1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；

2..直观想象：向量运算的几何意义；

3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。

二、探究新知

知识点一 空间向量的概念

思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.

空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.

方向；大小；长度；模；长度；|a|或||

(2)几类特殊的空间向量

零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长

知识点二 空间向量的加减运算及运算律

思考2. 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.

答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

＝＋＝a＋b

＝－＝a－b

＝＋＝＋＝a＋b

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

知识点三 空间向量的数乘运算

思考3. 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？

答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，

②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝____.

②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；

③(λ₁＋λ₂)a＝_________(拓展).

相反；|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ₁a＋λ₂a

知识点四 共线向量与共面向量

思考4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.

答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.

平行或重合；a＝λb；方向向量；＝＋ta；

惟一；p＝xa＋yb；x＋y；x＋y

做一做

1.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.

(1)′－； (2)＋＋′.

解（1） －＝－＝＋＝.

（2） ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.

例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．

＝k＝k,＝k，＝k．

求证：四点E，F，G，H共面

【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；

解：（1）证明：如图，

∵；∴；

EF∥AB，且EF＝|k|AB；

同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；

∴EF∥HG，且EF＝HG；

∴四边形EFGH为平行四边形；

∴四点E，F，G，H共面；

知识点五 空间向量数量积的概念

思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.

解 ∵＝－，

∴＝－

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝84cos 135－86cos 120＝24－16.

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作ab.

(2)数量积的运算律

ab＋ac；λ(ab)；ba

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.

∠AOB；[0，π]；

；；ab＝0；|a||b|；－|a||b|；|a|²

例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，

AA′＝5，∠BAD＝90，∠BAA′＝∠DAA′＝60，

（1）求AC′的长；（如图所示）

（2）求与的夹角的余弦值．

【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；

（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．

解：（1）可得＝＝，

＝＝+2（）

＝4²+3²+5²+2（430+4）＝85

故AC′的长等于＝

例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．

求证：l⊥α

解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，

∵m，n是平面α内的两条相交直线

∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，

由平向量基本定理，存在唯一实数λμ，使＝λ+μ

又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0

∴•＝＝λ+μ＝0

∴

∴直线l垂直于平面α内的任意直线，

由线面垂直的定义得：l⊥α

创设问题情境，引导学生通过平面向量知识类比学习空间向量

由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。

让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。

通过具体问题，让学生感受空间向量在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过类比平面向量数量积的运算让学生掌握空间向量数量积的运算，并能解决简单问题，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让学生体会空间向量在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.下列命题中，假命题是( )

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

答案：D

解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.

2.在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案A

解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.

3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )

A. a＝b B. a＋b为实数0

C. a与b方向相同 D. |a|＝3

答案D

解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.

4.在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知下列各式：①(＋)＋₁；②(₁＋₁)＋₁；③(＋₁)＋B₁C₁；④(₁＋₁)＋₁.其中运算的结果为₁的有___个.

答案 4

解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(＋)＋₁＝＋₁＝₁；

②(₁＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁；

③(＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁；

④(₁＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁.

所以4个式子的运算结果都是₁.

5.设e₁，e₂是平面内不共线的向量，已知＝2e₁＋ke₂，＝e₁＋3e₂，＝2e₁－e₂，若A，B，D三点共线，则k＝____.

答案－8

解析 ＝－＝e₁－4e₂，＝2e₁＋ke₂，

又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，

∴＝.∴k＝－8.

6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e₁、e₂分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e₁＋3e₂，b＝ke₁－4e₂，a⊥b，则实数k的值为___.

答案 6

解析 由a⊥b，得ab＝0，

∴(2e₁＋3e₂)(ke₁－4e₂)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.

7.BB₁⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90的等腰直角三角形，▱ABB₁A₁、▱BB₁C₁C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA₁与AC所成的角.

解 如图所示.∵₁＝＋₁，＝＋，

∴₁＝(＋₁)(＋)＝＋＋₁

＋₁.

因为AB⊥BC，BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，

∴＝0，₁＝0，₁＝0且＝－a².

∴₁＝－a².

又₁＝|₁|||cos〈₁，〉，

又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈₁，〉＝120，

又∵异面直线所成的角是锐角或直角，

∴异面直线BA₁与AC成60角.

∴cos〈₁，〉＝＝－.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。