人教A版高中数学必修二直线与平面垂直教学设计

课题

直线与平面的垂直

单元

第八单元

学科

数学

年级

高二

教材分 析

本节内容是空间直线平面垂直，由生活实际立体图形导入，进而引出本节要学的内容。

教 学

目标与核心素养

1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察直线与平面垂直关系。

2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。

4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点

线面垂直判定、线面夹角、线面垂直性质

难点

线面垂直判定、线面夹角、线面垂直性质应用

教学过程

导入新课

请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

学生思考问题，引出本节新课内容。

利用生活实际引出本节新课内容。

讲授新课

1.观察（1）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？

（2）随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直？

经观察我们知道AB与BC永远垂直，也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。

一般地，如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直，我们就说l垂直α，记作l⊥α。

2.定义：

①文字叙述：如果直线l与平面α内的所有 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做交点．

②图形语言：如图．

画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

③符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.

3.思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

答：有一条。经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。

4.探究线面垂直判定

准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？

容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。

5.判定定理：

①自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

②图形语言：如图所示.

③符号语言： l⊥a,l⊥b,且a∩b=P⇒l⊥α.

6.例一：如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明（1）如图，取AB中点E,连接SE,DE，在Rt△ABC中，D,E

分别为AC,AB的中点，∴DE//BC且DE⊥AB,∵SA=SB∴△SAB为等腰三角形

∴SE⊥AB又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE∵SD在平面SDE内

∴AB⊥SD,在△SAC中∵SA=SC，D为AC中点∴SD⊥AC

∵SD⊥AC，SD⊥AB,AC∩AB=A∴SD⊥平面ABC

（2）∵AB=BC,∵AB=BC,D为斜边AC中点∴BD⊥AC,由（1）可知SD⊥平面ABC,而BD在平面ABC内，∴SD⊥BD∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC

7.练习一

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2

证明：PA⊥平面ABCD

8.思考：两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？

答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α。

9.例二

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面

已知：如图，a//b，a⊥α，求证b⊥α

证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.

∵直线 a⊥α

∴a⊥m,a⊥n

∵b//a

∴b⊥m,b⊥n

又m,n均在平面α内且相交

∴b⊥α

10.线面夹角

如图，一条直线与一个平面α，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角（0≤θ≤90）

11.练习二：

斜线和平面所成角范围？

直线和平面所成角的的范围是多少？

12.例三

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角

解：如图连接BC1,B1C, BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体棱长为a.

∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥ BC1

又BC1⊥B1C,∴ BC1⊥平面A1DCB1∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角

在Rt△A1BO中，A1B= ,BO= ,

∴BO=1/2A1B∴∠BA1O=30

∴直线A1B和平面A1DCB1所成角为30

13.练习三

在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若经过AB的平面α将棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面α所成角的正弦值为________

求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

14.探究线面垂直性质

（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？

（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？

解（1）平行（2）一定平行证明如下，设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点o的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.

15.如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.

证明：如图所示，连接AB1,B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内，∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1∵BD1⊥AC同理可证BD1⊥B1C1，∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D//B1C,∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF//BD1

16. 例四如图，直线l平行于α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等

证明：过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别是A1,B1

∵AA1⊥α，BB1⊥α

∴AA1//BB1

设直线AA1,BB1确定的平面为β，α∩β=A1B1

∵l//α∴l//A1B1

所以四边形AA1BB1是矩形

∴AA1=BB1

由A,B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等。

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例三我们可以进一步得到，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离。

17.练习三

已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120，则点A到△BCD所在平面的距离为多少？

例五

推导棱台的体积公式

18.练习

一、已知l，m，n是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）

A 若l⊥m，l⊥n，则m//n

B 若m在α内，n在β内，α//β，则m//n

C 若m在α内， n也在α内，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,则l⊥α

D 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β

二、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

三、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，中，点E是棱DD1的中点，点F在棱BB1上，且满足B1F=2BF

求证：EF⊥A1C1

根据实例观察空间中的线面垂直

给出线面垂直定义的三种形式

学生独立思考例一

小组讨论练习一并给出答案

学生独立完成例二

小组讨论例三

学生独立思考练习三

学生小组探究线面垂直性质

学生独立完成练习

通过具体立体图形体会线面垂直

培养学生的数形结合思想

段炼学生解决问题能力

段炼学生独立解决问题能力

加深对知识的掌握

段炼学生团队协作能力

段炼学生对于新知识的掌握

段炼其数学建模思想

段炼学生独立解决问题能力