人教A版高中数学必修二平面与平面垂直教学设计

课题

平面与平面的垂直

单元

第八单元

学科

数学

年级

高二

教材分 析

本节内容是空间平面与平面垂直，由生活实际立体图形导入，进而引出本节要学的内容。

教 学

目标与核心素养

1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察平面与平面垂直关系。

2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。

4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点

平面垂直判定、二面角、面面垂直性质

难点

平面垂直判定、二面角、面面垂直性质

教学过程

导入新课

竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？

学生思考问题，引出本节新课内容。

利用生活实际引出本节新课内容。

讲授新课

1. 二面角

定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

记法

棱为l,两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β。

2. 思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？

答：无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.

3.二面角的平面角的特点：

（1)角的顶点在二面角的棱上

（2)角的两边分别在二面角的两个面内

（3)角的两边都与棱垂直

4.例一:已知，如图所示锐二面角α-l-β，A为面α内一点，A到β的距离为2，到l的距离为4.求二面角α-l-β的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步骤：

（1)作二面角的平面角

（2)证明该角为平面角

（3)归纳到三角形求值

简记：一作、二找、三求解

6.例二：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内∴PA⊥BC

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC

又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC内，∴BC⊥平面PAC

又PC在平面PAC内，∴PC⊥BC

又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角

由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45，

即二面角P-BC-A的大小是45

7.面面垂直定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β

8.探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细绳紧贴墙面，工人师傅被认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？

这个方法说明，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。

9.定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

符号语言：l 在α内，l⊥β，则α⊥β。

10.例三：如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝ a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD.

总结：用定义证明两个平面垂直的步骤

利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：

①找出两个相交平面的平面角；

②证明这个平面角是直角；

③根据定义，这两个平面互相垂直．

11.练习一：如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，求证：平面ABD垂直平面ACCA

证明：∵ABCD-ABCD是正方体

∴AA⊥平面ABCD

∴AA⊥BD

又BD⊥AC

∴BD⊥平面ACCA

∴平面ABD⊥平面ACCA

12.例四：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC

证明：∵PA⊥平面ABC

BC在平面ABC内

∴PA⊥BC

∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径

∴∠BCA=90即BC⊥AC

又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中

∴BC在平面PBC内

∴平面PAC⊥平面PBC

13.练习二：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1

证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,

A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，

∴平面AB1C⊥A1BC1

探究：如图，设α⊥β，α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么关系？相应的b与α有什么位置关系？

证明：显然b与a平行或相交，当b//a时，b//α;当b与a相交时，b与α也相交。而当b垂直a时，b也垂直α。

14.练习三：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60，侧面△PAD为等边三角形.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.

证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。

（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD

规律方法证明两两垂直常用的方法：

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

15.练习四：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC

16.探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？

证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。

17.平面与平面垂直性质

例五：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。

解：在α内作垂直于α与β的直线b

∵α⊥β，∴b⊥β

又a⊥β∴a//b

又a不在α内

∴a//α

即直线a与平面α平行

例六：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB

证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E

∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC

∴AE⊥平面PBC

∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC

∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内

∴PA⊥BC又PA∩AE=A

∴BC⊥平面PAB

18.例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

证明（1）连接BD，如图，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60∴△ABD为正三角形又∵G是AD的中点∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD内，∴BG⊥平面PAD

（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD

由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB

总结：应用面面垂直的性质定理，应注意三点：

①两个平面垂直是前提条件；

②直线必须在其中一个平面内；

③直线必须垂直于它们的交线.

19.练习

一、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB

二、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD

证明：AB⊥平面VAD

根据实例观察空间中的面面垂直

给出二面角特点

学生独立思考例二

小组讨论探究一并给出答案

学生独立完成例三

小组讨论例四

学生独立思考练习二

学生小组探究面面垂直性质

学生独立思考探究二

学生独立完成例五

通过具体立体图形体会面面垂直

培养学生的数形结合思想

段炼学生解决问题能力

段炼学生独立解决问题能力

加深对知识的掌握

段炼学生团队协作能力

段炼学生对于新知识的掌握

段炼其数学建模思想

锻炼其思考及总结能力

段炼学生独立解决问题能力

加强对知识的掌握