人教A版高中数学必修一基本不等式教学设计（2）

基本不等式教学设计（2）

《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

课程目标

1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

数学学科素养

1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；

2.逻辑推理：基本不等式的证明；

3.数学运算：利用基本不等式求最值；

4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；

5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；

难点：基本不等式的推导以及证明过程．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入：

在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本44-45页，思考并完成以下问题

1. 重要不等式的内容是？

2.基本不等式的内容及注意事项？

3.常见的不等式推论？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.重要不等式

a>0,b>0

2.基本不等式

a=b

(1)基本不等式成立的条件:_____________.

(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.

注意：一正二定三等.

2ab

3.几个重要的不等式

2

(1)a2+b2≥_ _____(a,b∈R).

(2) ≥____(a,b同号).

(3) (a,b∈R).

(4) (a,b∈R).

4.设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均

数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.

四、典例分析、举一反三

题型一 利用基本不等式求最值

例1 求下列各题的最值.

（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；

（2）x>0,求 的最小值；

（3）x<3，求 的最大值；

【答案】见解析

【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.

当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.

(2)∵x>0,

等号成立的条件是 即x=2,

∴f(x)的最小值是12.

(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,

当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.

解题技巧：（利用基本不等式求最值）

(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；

(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；

(3)根据两式的符号求积或和的最值.

总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.

跟踪训练一

（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值；

（2）已知x< 求函数 的最大值;

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

【答案】见解析

【解析】

题型二 利用基本不等式解决实际问题

例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？

（ ２ ） 用一段长为３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？

【答案】见解析

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m.

(1)由已知

由 ≥，可得

所以,

当且仅当=10时，上式等号成立.

(2)由已知得，矩形菜园的面积为

由 = = 9,可得81，

当且仅当=9时，上式等号成立.

解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)

设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）

跟踪训练二

1.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.