人教A版高中数学必修一同角三角函数的基本关系教学设计(2)
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- 作者:曼达林演示
同角三角函数的基本关系教学设计(2)
本节内容是学生学习了任意角和弧度制,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数知识的基础,在教材中起承上启下的作用。同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
课程目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
数学学科素养
1.数学抽象:理解同角三角函数基本关系式;
2.逻辑推理: “sin αcos α”同“sin αcos α”间的关系;
3.数学运算:利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明
重点:理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用;
难点:会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。
教学工具:多媒体。
一、 情景导入
公式一表明终边相同的角的三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?
要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本,引入新课
阅读课本182-183页,思考并完成以下问题
1.同角三角函数的基本关系式有哪两种?
2.同角三角函数的基本关系式适合任意角吗?
要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2 α+cos2 α=1.
商数关系:=tan_α.
(2)语言叙述:同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
思考:“同角”一词的含义是什么?
[提示] 一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin215+cos215=1,sin2+cos2=1等.
四、典例分析、举一反三
题型一 应用同角三角函数关系求值
例1 (1)若,求cos α,tan α的值;
(2)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
【答案】(1)当α是第三象限角时,cos α=-,tan α=.
α是第四象限角时,cosα=,tan α=-
(2)如果α是第二象限角,那么sin α=,tan α=-.
如果α是第三象限角, sin α=-,tan α=.
【解析】(1)∵sin α=-,α是第三、第四象限角,
当α是第三象限角时,
cosα=-=-,tan α==.
α是第四象限角时,
cosα==,tan α==-
(2) ∵cos α=-<0,
∴α是第二或第三象限的角.
如果α是第二象限角,那么
sin α===,
tan α===-.
如果α是第三象限角,同理可得
sin α=-=-,tan α=.
解题技巧:(利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法)
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号.
跟踪训练一
1.已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.
【答案】角α的终边在第二象限时,cos α=-,sin α=;
当角α的终边在第四象限时,cos α=,sin α=-.
【解析】 ∵sin α+3cos α=0,∴sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1,∴(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1,
∴cos α=.
又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时,cos α=-,sin α=;
当角α的终边在第四象限时,cos α=,sin α=-.
题型二 三角函数式的化简、求值
例2 (1)化简:;
(2)若角α是第二象限角,化简:tan α.
【答案】(1)1; (2)-1.
【解析】 (1)原式=
===1.
(2)原式=tan α=tan α=,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以原式===-1.
解题技巧:(化简三角函数式的常用方法)
1、切化弦,即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数种类以便化简.
2、对含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的
3、对于化简高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或用“1”的代换,以降低函数次数,达到化简目的.
提醒:在应用平方关系式求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在的象限决定,不可凭空想象.
跟踪训练二
1.化简:(1);
(2).
【答案】(1)1;(2) cos θ.
【解析】 (1)原式=====1.
(2)原式===cos θ.
题型三三角函数式的证明
例3 求证:.
【答案】见解析
【解析】
解题技巧:(三角函数式解题思路及解题技巧)
1.证明恒等式常用的思路是:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差,作比法).
2.常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
3.解决此类问题要有整体代换思想.
跟踪训练三
1.求证:=.
【答案】见解析
【解析】证明: 右边==
===左边,
∴原等式成立.
题型四 “sin αcos α”同“sinαcos α”间的关系
例4已知sin α+cos α=,且0<α<π.
求:(1)sinαcos α的值;
(2)求sin α-cos α的值.
【答案】(1)-; (2).
【解析】证明:(1)∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,
∴1+2sin αcosα=,即sin αcos α=-.
(2)∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=.
又∵0<α<π,且sin αcos α<0,
∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0,
∴sin α-cos α=.
解题方法( “sin αcos α”同“sin αcos α”间的关系)
1、已知sin θcos θ求sin θcos θ,只需平方便可.
2、已知sin θcos θ求sin θcos θ时需开方,此时要根据已知角θ的范围,确定sin θcos θ的正负.
跟踪训练四
1.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α= .
2.已知=2,计算下列各式的值:
(1);
(2)sin2α-2sin αcosα+1.
1、【答案】-.
【解析】法一:(构建方程组)
因为sin α+cos α=,①
所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,
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