人教A版高中数学必修一三角函数的概念教学设计(2)
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- 作者:尹超工作室
三角函数的概念教学设计(2)
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型,有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念,对三角内容的整体学习至关重要,是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉,可以自然地导出本章的具体内容:三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用,一方面,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念,另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
3.掌握公式一并会应用.
数学学科素养
1.数学抽象:理解任意角三角函数的定义;
2.逻辑推理:利用诱导公式一求三角函数值;
3.直观想象:任意角三角函数在各象限的符号;
4.数学运算:诱导公式一的运用.
重点:①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;
②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
难点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。
教学工具:多媒体。
一、情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数,那么锐角三角函数是如何定义的?若将锐角放入直角坐标系中,你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?若以单位圆的圆心O为原点,你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗?那么,角的概念推广之后,三角函数的概念又该怎样定义呢?
要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本,引入新课
阅读课本177-180页,思考并完成以下问题
1.任意角三角函数的定义?
2.任意角三角函数在各象限的符号?
3.诱导公式一?
要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.单位圆
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
图121
(2)结论
①y叫做α的正弦,记作sin_α,即sinα=y;
②x叫做α的余弦,记作cos_α,即cosα=x;
③叫做α的正切,记作tan_α,即tanα=(x≠0).
(3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.
思考:若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),则其三角函数定义为?
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r(r=>0).
三角函数
定义
定义域
名称
R
正弦
R
余弦
正切
正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示:
图122
(2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
5.诱导公式
四、典例分析、举一反三
题型一 三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中,角α的终边在直线y=-2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
【答案】当α的终边在第二象限时,sin α=,cosα=-,tan α=-2.
当α的终边在第四象限时, sin α=-,cosα=,tan α=-2.
【解析】当α的终边在第二象限时,在α终边上取一点P(-1,2),则r==,
所以sin α==,cosα==-,tanα==-2.
当α的终边在第四象限时,
在α终边上取一点P′(1,-2),
则r==,
所以sin α==-,cosα==,tanα==-2.
解题技巧:(已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法)
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
跟踪训练一
1.已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.
【答案】当x=1时,sin θ=,tan θ=3;
当x=-1时,此时sin θ=,tan θ=-3.
【解析】由题意知r=|OP|=,由三角函数定义得cos θ==.
又∵cos θ=x,∴=x.∵x≠0,∴x=1.
当x=1时,P(1,3),此时sin θ==,tan θ==3.
当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ==,tan θ==-3.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若α是第四象限角,则点P(cos α,tan α)在第________象限.
(2)判断下列各式的符号:
①sin183;②tan ;③cos 5.
【答案】(1)四; (2) ①sin 183<0;②tan <0;③cos 5>0.
【解析】(1)∵α是第四象限角,∴cos α>0,tan α<0,
∴点P(cos α,tan α)在第四象限.
(2) ①∵180<183<270,∴sin 183<0;
②∵<<2π,∴tan <0;
③∵<5<2π,∴cos 5>0.
解题技巧:(判断三角函数值在各象限符号的攻略)
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
跟踪训练二
1.确定下列式子的符号:
(1) tan 108cos 305;(2);(3)tan 120sin 269.
【答案】(1) tan 108cos 305<0;(2)>0;
(3)tan 120sin 269>0.
【解析】(1)∵108是第二象限角,∴tan 108<0.
∵305是第四象限角,∴cos 305>0.从而tan 108cos 305<0.
(2)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,
∴cos <0,tan<0,sin >0.从而>0.
(3)∵120是第二象限角,∴tan 120<0,∵269是第三象限角,∴sin 269<0.
从而tan 120sin 269>0.
题型三 诱导公式一的应用
例3 求值:(1)tan405-sin 450+cos 750;
(2)sincos+tancos.
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