人教A版高中数学必修一函数的概念教学设计（1）

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1. 初中学习的函数的定义是什么？

【答案】设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.

2.回顾初中学过哪些函数？

（1）一次函数

（2）正比例函数

（3）反比例函数

（4）二次函数

二、探索新知

探究一 函数的概念

问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。

1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？

【答案】不正确。对应关系应为S=350t，其中

，

问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？

【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中

。

2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

【答案】不是。自变量的取值范围不一样。

问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

【答案】是，t的变化范围是，I的范围是

问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？

【答案】y的取值范围是，

， 恩格尔系数r是年份y的函数。

3.思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

【答案】共同特征有：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。

4.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

5.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。

（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，

如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；

6、思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？

【答案】函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。

牛刀小试

1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )

①y是x的函数

②对于不同的x,y的值也不同

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B

练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：

例1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。

例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。

解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).

其中，x的取值范围是，y的取值范围是 ，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).

探究二 区间的概念

设a，b是两个实数，而且a

⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]

⒉满足不等式a

⒊满足不等式a≤x

这里的实数a，b叫做相应区间的端点

实数集Ｒ可以用区间表示为，把“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。

注意：

（1）.区间（a,b）,必须有b>a；

（2）.区间只能表示数集；

（3）.区间不能表示单元素集；

（4）.区间不能表示不连续的数集；

（5）.区间的左端点必须小于右端点；

（6）.区间都可以用数轴表示；

（7）.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.

牛刀小试

试用区间表示下列实数集合

（1） {x|5 ≤ x<6}

（2） {x|x ≥9}

（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}

【答案】（1）[5,6) （2）

例2 已知函数

(1)求函数的定义域.（2）求的值.

(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

解：（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是 .

(2)

（3）因为a>0,所以有意义。

探究三 函数相等

1.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.

例3.下列函数哪个与函数y=x相等

解：这个函数与对应关系一样，定义域不同，所以和函数y=x不相等。

，这个函数与对应关系一样，定义域相同，所以和函数y=x相等。

，这个函数和定义域相同，但是当x<0时，它的对应关系为，所以和不相等。

（4），这个函数与对应关系一样，但的定义不同，所以和不相等。

通过复习初中所学函数的定义及基本初等函数，为进一步学习函数的概念打基础，建立知识间的联系。

通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。

通过思考，提高学生的分析问题，概括能力。

进一步理解函数的概念，激发学生探求问题的兴趣。

通过练习，进一步概括函数的概念，提高学生的理解能力。

通过总结初中所学函数的定义域、值域，进一步理解函数的概念，提高学生解决与分析问题的能力。

通过例题，进一步理解函数的概念。

总结区间的注意点，进一步理解区间，通过学生分析、概括能力。

通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。

通过例题，进一步巩固函数的概念，提高学生分析问题，解决问题的能力。

通过思考，总结判断函数是否相等的方法，提高学生分析问题的能力。

通过例题，进一步巩固函数相等的判断方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。