人教A版高中数学必修二简单随机抽样教学设计

课题

9.1.1简单随机抽样

单元

第九单元

学科

数学

年级

高一

教材分析

本节内容是统计的初步内容——简单随机抽样，是其他抽样方法的基础，也是估计总体结果的前提，同时也是初中频率知识的延伸。

教学目标与核心素养

1.数学抽象：利用简单随机抽样将总体分布具体化；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.数学建模：掌握简单随机抽样，利用简单随机抽样统计数据估计总体。

4.直观想象：通过样本平均数等数据直观估计总体平均数等数据；

5.数学运算:能够正确选择抽样方法；

6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

普查与抽查、简单随机抽样、总体平均数与样本平均数

难点

简单随机抽样、总体平均数与样本平均数

教学过程

导入新课

问题导入：

问题一：你知道我国几年进行一次人口普查吗？上一次人口普查是哪一年？

到目前为止，每十年进行一次人口普查。上一次人口普查是2010年。

学生思考问题，引出本节新课内容。

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

讲授新课

知识探究（一）：普查与抽查

像人口普查这样，对每一个调查调查对象都进行调查的方法，称为全面调查（又称普查）。

在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。

为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体。

问题二：除了普查，还有其他的调查方法吗？

由于人口普查需要花费巨大的财力、物力，因而不宜经常进行。为了及时掌握全国人口变动状况，我国每年还会进行一次人口变动情况的调查，根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况。像这样，根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和判断的方法，称为抽样调查（或称抽查）。

我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。

调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

学生根据一连串的问题，探究普查与抽查的异同点。

利用问题情境探究得出普查与抽查的异同,培养学生探索的精神.

讲授新课

问题三：普查和抽样调查各有什么特点？

普查的数据结果全面、准确，但花费的代价大、时间较长。

抽样调查的数据结果虽没有普查全面、准确，但具有花费少、效率高的特点，在总体规模较大的调查中，如果经费、时间上受限，那么抽样调查是比较合适的调查方法。

同时，在一些调查中，抽样调查具有不可替代的作用，抽样调查毁损性小。

例如，检测一批灯泡的寿命，或一批种子的发芽率，或一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标。

小试牛刀

一、选择题

1.医生要检验人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是（ B ）

A.普查 B.抽样调查 C.既不能普查也不能抽样调查D.普查与抽样调查都可以

2.若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是（ B ）

A.某城市 B.某城市的所有家庭的收入

C.某城市的所有人口 D.某城市的工薪阶层

3.抽样调查在抽取调查对象时（ A ）

A.按一定的方法抽取 B.随便抽取

C.全部抽取 D.根据个人的爱好抽取

知识探究（二）：简单随机抽样定义

问题一：抽查的目的是什么？

抽查的目的是为了了解总体的情况。

例如，抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数量是否超标，其目的是要了解整批牛奶的细菌含量是否超标，而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况。

因此，通过抽样调查了解总体的情况，自然希望抽取的样本数据能很好的反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息。

问题二：抽取的样本具有什么特点？

抽取出的样本要客观、公正、具有代表性。

探究一：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？

袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体，小球的颜色是需调查的变量。

我们可以从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复n次。

根据初中的概率知识可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例。

因此，可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例。

问题三：放回摸球有什么不足吗？你还有其他的方法吗？

在有放回地摸球中，同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是每次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色信息。这样的抽样结果误差较大。

我们可以采用不放回摸球，即从袋中随机摸出一个球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，这样就可以避免同一个小球被重复摸中。

特别地，当样本量n=1000时，不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例做出准确的判断。

简单随机抽样定义：

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率是相等的，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

我们把放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的。

问题四：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样哪个效率高？

不放回简单随机抽样的效率更高。

因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样。

除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样。

问题五：简单随机抽样有哪些特点？

1、总体的个体数有限；样本数n小于等于样本总体的个数N ；

2、是不放回抽样；

3、样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；

4、每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.

小试牛刀

下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？

（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本.

不是简单随机抽样。因为简单随机抽样总体是有限的，但本题是无限的。

（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子.

不是简单随机抽样。因为如无特殊说明，简单随机抽样是指不放回简单随机抽样，但本题是放回的。

知识探究（三）：简单随机抽样（一）——抽签法

问题一：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们

事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课

桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生，如果

要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，

应该怎么抽取样本？在这个抽样中，总体、个体、变量分别是什么？

可以用简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高。

树人中学全部高一年级学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的身高是调查的变量。

实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

接下来用抽签法进行简单随机抽样。

先给712名学生编号，例如1~712进行编号；

然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌；

最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数。

问题二：为什么要给学生编号？编号用学号可以吗？

编号是为了将每名学生能明确区分开.因此，用学号也可以，学号与学生之间也是一一对应的。

还可以用字母+数字进行区分。例如：a1、a2等等。

如果没有学生没有重名，还可以用姓名进行区分。

问题三：抽签法的步骤是什么？

第一步：将总体中的所有个体编号；（编号）

第二步：并把号码写在形状、大小相同的号签上；将号签放在一个不透明容器中，并搅拌均匀.（制签）

第三步：每次从中不放回抽取一个号签，直到抽取到足够的样本量。（抽取）

问题四：抽签法的优缺点是什么？

优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.

缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.

因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形。

小试牛刀

高一（1）班有50名同学，现从中抽出8名同学去参加一个座谈会，每位同学的机会均等.请你设计一个抽样方法，并说明其合理性.

解：可以采用抽签法进行选取。

首先，我们可以把50名同学的学号写在小纸条上，揉成小球；

然后，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌；

最后从中逐个抽出8个号签，从而抽出8名参加座谈会的学生.

因为这样的抽取方法使得大家的机会是均等的，

因此抽取结果也非常合理。

知识探究（三）：简单随机抽样（二）——随机数法

一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高。

仍是这个调查，接下来，我们用随机数法进行抽查。

先给712名学生编号，例如1~712进行编号；

用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；

重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数。

先给712名学生编号，例如1~712进行编号；

用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；

重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数。

如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新产生随机数，直到抽足样本所需要的人数。

思考一：怎样产生随机数？

1、用随机试验产生随机数；

2、用信息技术生成随机数

（1）用计算器生成随机数；

（2）用电子表格软件生成随机数；

（3）用R统计软件生成随机数。

问题二：随机数法的步骤是什么？

第一步：将总体中的所有个体编号；（编号）

第二步：在随机数表中任选一个数作为起始数；（选起始数）

第三步：从选定的数开始依次向右（或向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满样本容量的样本.（抽取样本）

问题三：随机数法需注意哪些方面？

1、不重复抽样

2、编号要求数位相同

3、第一个数字的抽取是随机的

4、读数的方向是任意的，且是事先规定好的

问题四：随机数法的优缺点是什么？

优点：随机数表数字较多，因此当总体容量较多时，抽取较为便利；

缺点：起始位置及抽取方向是人为确定的，不同的人选取出的样本会有差距。

因此，随机数法一般适用于总体中个体数较多的情形。

问题五：对比抽签法与随机数法，如何选取合适的方法？

当总体容量较小时，选择抽签法；

当总体容量较大时，选择随机数法。

问题六：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？

在重复试验中，试验次数越多，频率越接近概率的可能性越大。与此相似，用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量越大，结果越准确。一般来说，样本量大的要比样本量小的好，增加样本量可以较好地提高估计的效果。

但在实际情况中，样本量会导致人力、费用、时间等成本的增加。

因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好。

小试牛刀

1、利用随机数表法从500件产品中抽取40件进行质检.（1）这500件产品可以怎样编号？

（2）如果从随机数表第10行第8列的数开始往左读数，则最先抽取的3件产品的编号依次是什么？

解：（1）按照001~500进行编号；

（2）512、123、441.

2、假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，可以怎样操作？

第一步：将800袋牛奶编号为000，001，002，…，799.

第二步：在随机数表中任选一个数作为起始数（例如选出第8行第7列的数7）.

第三步：从选定的数7开始依次向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本.

知识探究（四）：总体平均数与样本平均数

下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值（单位：cm）如下：

由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3。据此，可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右。

上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所以学生平均身高的估计值。

总体平均数

样本平均数

补充知识：

问题一：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果，他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0CM。然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表所示，从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？

为了更方便地观察数据，以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系，我们把这20次试验的平均数用图形表示出来，如下图所示。图中的红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数。

从试验结果看，不管样本量为50，还是为100，不同样本的平均数往往是不同的。由于样本的选取是随机的，因此样本平均数也具有随机性，这与总体平均数是一个确定的数不同。

虽然在所有20个样本平均数中，与总体平均数完全一致的很少，但除了样本量为50的第2个样本外，样本平均数偏离总体平均数都不超过1CM，即大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动。

比较样本量为50和样本量为100的样本平均数，还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的，这与我们对增加样本量可以提高估计效果的认识是一致的。

总体平均数是总体的一项重要特征。另外，某类个体在总体中所占的比例也是人们关心的一项总体特征，例如全部产品中合格品所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中所占的比例等。

问题二：眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要。树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎样做？总体、个体、变量分别是什么？

全体学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的视力是考察的变量。

我们记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第i个（i=1，2，...，2174）学生的视力变量值为

现在，我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下：1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 10 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0

由样本平均数，我们估计在树人中学全体学生中，

“视力不低于5.0”的比例约为0.54.

问题三：由以上例题，你能发现简单随机抽样的优缺点吗？

优点：简单随机抽样方法简单、直观；用样本平均数估计总体平均数也比较方便。简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础。

缺点：在实际应用中，简单随机抽样有一定局限性。例如，当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以做到；抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很多困难；简单随机抽样没有其他辅助信息，估计效率不是很高。

因此，在规模较大的调查中，直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用。

小试牛刀

公交508路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 23 25 29 28 30 25 21 23

（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；

（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？

解：（1）（20+23+23+25+29+28+30+25+21+23）10=24.7，则平均数为25

（2）因为样本平均数为25，则60个班次出行的乘客大约共有2560=1500人。

课堂巩固

一、填空题

1、某工厂要检验一批产品的质量，决定从这批产品中任意抽取10个进行检验，以判断产品的质量如何.在这个调查中，总体是 一批产品，样本是 10个产品，样本容量是10

2、抽样调查一定要保证 随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰；并且要保证每个个体以 相同的概率被抽取到.

3、普查是一项非常艰巨的工作，当 普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式；当普查的对象很多时，普查工作量就很大；在很多情况下，普查工作难以实现.

二、1936年美国一著名杂志社为了预测总统候选人罗斯福与兰登两人谁能当选，他们以电话薄上的地址和俱乐部成员名单上的地址发出1000万封信，收回回信200万封，在调查史上是少有的容量，花费了大量的人力、物力.杂志社相信自己的调查结果——兰登将以57％对43％的比例获胜，并进行大力宣传，最后选举的结果却是罗斯福以62％比38％的巨大优势获胜，试分析这次调查失败的原因.

答案：失败的原因如下：

(1)抽样不是从总体——全体美国选民中抽样，因为1936年时，美国有私人电话和参加俱乐部的家庭是比较富裕的家庭，以电话簿和俱乐部名单发信，样本偏离了总体;

(2)回收率低，问卷的回收率也是一次调查成败的重要因素.

三、在抽样调查中，应当注意什么问题.

答：抽样调查就是通过从总体中抽取一部分个体进行调查，借以获得对整个总体特征的了解.

所以，如何抽取样本，直接关系到对总体估计的准确程度，因此抽样时要保证每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是均等的；

要尽可能地避免人为因素的干扰；

同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差.

四、为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，试利用简单随机抽样法抽取样本，并简述其抽样过程.

学生根据环环相扣的思考题，探究简单随机抽样。

学生对比抽签法与随机数法，深刻认识简单随机抽样。

学生感受利用样本平均数估计总体平均数的过程。

学生和教师共同探究完成4个练习题。

通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.

感受简单随机抽样的步骤与优缺点，为其他抽样方法做铺垫。

通过这个过程，让学生认识到统计与抽样的重要性。

通过这4个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。