人教A版高中数学必修二平面教学设计

课题

平面

单元

第八单元

学科

数学

年级

高二

教材分 析

本节内容是空间、点、直线平面之间位置关系的第一课时，由生活中实际物体引出平面概念，进而引出本节要学的内容。

教 学

目标与核心素养

1.数学抽象：通过将实际物体抽象成平面。

2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。

4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点

平面概念、三个公理、三个推论

难点

公理及推论的应用

教学过程

导入新课

生活中有哪些事物给我们以平面的形象？

学生思考问题，引出本节新课内容。

把已学知识与实际生活建立联系，并引出本节新课内容。

讲授新课

1. 平面概念

平静的海面

平整的纸张

桌面、黑板面

2.几何特征

无限延展（没有边界）

不计大小（无所谓面积）

不计厚薄（没有质量）

练习一

判断下列各题的说法正确与否：

1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )

2、平面有边界； ( )

3、一个平面的面积是 25cm； ( )

4、菱形的面积是 4 cm； ( )

5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )

3. 平面的画法：

(1)水平放置的平面：

(2) 垂直放置的平面：

通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45。我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面。

如平面α，平面β等。并将它们写在代表平面的平行四边形的一个内角内；也可以用代表

平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示。如图1也可以

表示为平面ABCD，平面AC或平面BD。

4.

思考1：

我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？

基本事实一：

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

不共线三点确定一个平面（确定平面依据）

直线上有无数个点，平面内有无数个点。直线、平面都可以看成点的集合。点A在直线l上，记作A∈l；点B在直线l外，记作B∉l;点A在平面α内，记作A∈α，点P在平面α外，记作P∉α。

5.练习二：

把下列语句用集合符号表示，并画出直观图.

(1) 点A在平面内，点B不在平面内，点A，B都在直线a上；

6.思考二：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？

在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定的。

基本事实2：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内（判断直线是否在平面内）

平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合，如果直线l上所有点都在平面α内，记作；否则，就说直线l不在平面α内，记作 .

基本事实二也可以用符号表示为

A∈l,B∈l,且A∈α，B∈α则

练习三：

把下列语句用集合符号表示，并画出直观图.平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.

7.思考三：

把三角尺的一个角立在课桌面上面，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交与一点B?为什么？

想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线。教室里相邻的墙面处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线，由此我们得到又一个基本事实。

基本事实三：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么有且只有一条过该点的公共直线

基本事实三用符号表示

P∈α。且P∈β则α∩β=l,且P∈l

补充：

在画两个平面相交时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图。

8.练习四

下列命题正确的是（ ）

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D.四边形确定一个平面

9.利用基本事实一和二再结合“两点确定一条直线”可得到下面三个推论。

推轮一：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

推论三：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

三个推论用来确定一个平面

推论一证明:

如图，设点A是直线l外一点，在直线a上任取两点B、C，则由基本事实一，经过A、B、C三点确定一个平面α，再由基本事实二。直线l也在平面α内，因此平面α经过直线l和点A。即一条直线和这条直线外一点确定一个平面。

10. 线共面问题

已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．

证明∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α，设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，即a⊂α，∴三线共面．

11. 点共线问题：

如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.

求证：P，Q，R三点在同一条直线上．

证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.

∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，

∴P是平面ABC与平面α的公共点．

∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.

∴P，Q，R三点在同一条直线l上．

点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：

(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．

12.线共点问题：

如图，在三棱柱中，1，1.求证：直线，，相交于一点．

证明：如图，连接PQ.由，，得，且.又，∴PQ//BC，且，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.

13证明三线共点的思路：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．

14.一、判断下列命题是否正确。

(!)书桌面是平面

(2)平面α与平面β相交，他们只有有限个公共点

(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

二、下列命题正确的是( )

A 三点确定一个平面

B 一条直线和一个点确定一个平面

C 圆心和圆上的两点可确定一个平面

D 梯形可确定一个平面

三、如图，AB//CD，AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=A。

求证：B、E、D三点共线

给出平面概念，并总结其特征

学生独立完成练习一

小组讨论思考一并给出相应结论

独立完成练习二

学生小组讨论思考二问题

学生独立完成练习四

学生独立思考线面问题

限时训练

段炼学生总结能力

加深学生对平面的概念理解

段炼学生总结能力及团队协作能力

检查学生对于新知识的理解及记忆

段炼学生思考能力

对于新知掌握情况进行检查

段炼学生独立解决问题能

通过练习逐步培养学生将理论应用实际的。