北师大初中数学九年级上册相似三角形中的对应线段之比1教案文档

探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝23，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，∴CDC′D′＝ABA′B′＝23.又∵CD＝4cm，∴C′D′＝3CD2＝32×4＝6（cm）.即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.

如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当S R= BC时，求DE的长，如果SR= BC呢？解：∵ SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC.∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.∴ （相似三角形对应高的比等于相似比），即 .当SR= BC时，得 ，解得DE= h当SR= BC时，得 ，解得DE= hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点.∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且EFBD＝12.∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，∴△AEF∽△ABD.∴S△AEFS△ABD＝（12）2＝14.∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴S△ABD－6S△ABD＝14.∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由EF：BD＝1：2得S△AEF：S△ABD＝1：2，或S△AEF：S四边形BDFE＝1：2之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.

●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2. 相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能 力训练要求1.经历探索相似三角形的 性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情 感与价值观要求1.学 生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的 目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）

当Δ＝l2－4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P；当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个点P；当Δ＝l2－4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个点P.方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.

解：方法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝DEBC，即44＋8＝5BC，所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，所以FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）.方法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，所以△ADE∽△DBF，所以ADDB＝DEBF，即48＝5BF，所以BF＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.

同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.

下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。（三）运用知识解决问题例1 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC．例2 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．例3 在 ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求 的值．相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。（四）学习小结：通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？

合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′ C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.四、导入定理判定 定理1：两角分别相等的两个三角形相似．这个定理的 出 现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．例：如图，D ,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB= 7，AD=5，DE=10，求B C的长。解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两 个三角形相似).∴ ADAB=DEBC.∴BC=AB×DEAD = 7×105=14.五、学生练习：1. 讨论随堂练 习第1题有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？2.自己独立完成随堂练习第2题六、小结本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．七、作业：

（一）导入新课三角形全等的判定中AA S 和ASA对应于相似三 角形的判定的判定定理1，SAS对应于相似三 角形的判定的判定定理2，那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）（二） 做一做画△ABC与△A′B′C′，使 、 和 都等 于给定的值k.（1）设法比较∠A与∠A′的大小；（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试.定理3：三边:成比例的两个三 角形相似．（三）例题学习例：如图，在△ABC和△ADE中，ABAD=BCDE=ACAE ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.解：∵ABAD=BCDE=ACAE ，∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC =∠D AE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°. 三、巩固练习四、小结本节学 习了相似三角形的判定定理3，使用时一定要注意它使用的条件．

[想一想]同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等．第四环节 课堂小结1、本节课你学到了哪些知识？2、在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？3、在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？第五环节 布置作业，反思提炼

（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.解：（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：假设两个矩形相似，不妨设小路宽为xm，则30＋2x30＝20＋2x20，解得x＝0.∵由题意可知，小路宽不可能为0，∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下：若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，则30＋2x30＝20＋2y20，所以xy＝32.∴当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.

一、教学目标1．初步掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点1． 重点：掌握判定方法，会运用判定方法判定两个三角形相似．2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3． 难点的突破方法判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．

(2)相似多边形的对应边的比称为相似比；(3)当相似比为1时，两个多边形全等．二、运用相似多边形的性质．活动3 例：如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角 的大小和EH的长度 ．27.1-6教师活动:教师出示例题，提出问题；学生活动:学生通过例题运用相似多边形的性质，正确解答出角 的大小和EH的长度 ．(2人板演)活动41．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边 、 、 、 的长度．教师活动:在活动中,教师应重点关注：（1）学生参与活动的热情及语言归纳数学结论的能力；（2）学生对于相似多边形的性质的掌握情况．三、回顾与反思．(1)谈谈本节课你有哪些收获．(2)布置课外作业：教材P88页习题4.4

故线段d的长度为94cm.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm，2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x：1＝2：2，则x＝22；若1：x＝2：2，则x＝2；若1：2＝x：2，则x＝2；若1：2＝2：x，则x＝22.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm，2cm，或22cm.方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.

（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明）如：2、四条线段a,b ,c,d成比例，有顺序关系。即a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b, d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c3思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析： 例1、A、B两地的实际距离AB= 250m，画在一张地图上的距离A'B'=5 cm,求该地图的比例尺。例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。求⑴ ，⑵ 四、巩固练习1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某 天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。

(四)提高应用已知：在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于D，请找出图中的相似三角形，并说明理由。设计意图：训练学生灵活运用知识的能力(五)小结反思1.、相似三角形的判定方法一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2、在找对应角相等时要十分重视隐含条件,如公共角、对顶角、直角等. 3、掌握由平行线构造的两类相似图形：一类是A字型，另一类是X型. （回顾定理，强调两个基本图形，培养学生养成认真观察，注意寻找图形中的隐含信息的意识） 4、 常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.

接着，引导学生回答命题1的题设、结论，教师把命题1的图示画在黑板上，得到以下的数学表达式。已知：如图，△ABC∽△A/B/C/、△ABC与△A/B/C/的相似比是K，AD、A/D/是对应高。求证：AD/A/D/=K首先让学生回忆，证明线段成比例学过哪些方法，接着引导学生分析证明思路：要证AD/A/D/=K，根据图形学生能找到含对应高和对应边的两对三角形，即△ADB和△A/D/B/、△ADC和△A/D/C/。若要证AD/A/D/=K，则应有△ADB∽△A/D/B/，由条件可知∠ADB=∠A/D/B/=90°，∠B=∠B/，于是可得△ADB∽△A/D/B/，得到AD/A/D/=K。随后，学生口述教师板书规范的证明过程。接着问学生还有哪些证明方法?同理可证得其他两边上的对应高的比等于相似比，所以命题1具有一般性。而对于命题2、命题3的数学表达式和证明方法与命题1类似，所以为了提高教学效率，用投影依次将命题2、命题3的已知、求证和题图显示出来，并指导学生课堂练习证明这两个命题。

证明：如图，过点C作CF∥PD交AB于点F，则BPCP＝BDDF，ADDF＝AECE.∵AD＝AE，∴DF＝CE，∴BPCP＝BDCE.方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，　　 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.

（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对 应线段的比会相等吗？依据是什么？ 得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5. 例 题学习例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。（1）如果AE=7 ，EB=5，FC= 4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB 6.课时小结平行线分线段成比例定理：(1)两直线被一组平行线所截 ，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.7.课后作业习题4.3 知识技能 第1，2题