北师大初中数学九年级上册黄金分割2教案
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- 作者:天行健工作室
黄金分割教案
教学目标
(一)教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
(二)能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力.
(三)情感与价值观要求
理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重点
了解黄金分割的意义,并能运用.
教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]生活中我们见到过许许多多的图形,形态各异,美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗?比如,右图是一个五角星图案,如何找点C把AB分成两段AC和BC,使得画出的图形匀称美观呢?本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
[师]在五角星图案中,大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度,然后计算、,它们的值相等吗?
[生]相等.
[师]所以.
1.黄金分割的定义
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
2. 计算黄金比.
解:由=,得∴AC2=ABBC.
设AB=1,AC=x,则BC=1- x.
∴x2=1(1-x)
∴x2+ x-1=0
解这个方程,得
x1=或x2=(不合题意,舍去),
所以,黄金比=≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.
如图,已知线段AB,按照如下方法作图:
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB.
(2)连接DA,在DA上截取DE=DB.
(3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
[师]你知道为什么吗?
若点C为线段AB的黄金分割点,则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便,可设AB=1.
证明:∵AB=1,AC=x,BD=AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中,由勾股定理,得
∴x2=1(1-x)
∴AC2=ABBC
即:
即点C是线段AB的一个黄金分割点,
在x2=1-x中
整理,得x2+x-1=0
古希腊时期的巴台农神庙(ParthenomTemple).把它的正面放在一个矩形ABCD中,以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现,,点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
[师]请大家互相交流.
[生]因为四边形AEFD是正方形,所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点,矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
[师]在上面这个矩形中,宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗?
Ⅲ.课时小结
本节课学习了:1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点,以及会画黄金矩形.
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