北师大初中九年级数学下册二次函数与一元二次方程1教案
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二次函数与一元二次方程教案
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系;(重点)
2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根;(重点)
3.通过观察二次函数与x 轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.(难点)
一、情境导入
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示.现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离OC=2.4m.当水位上升一定高度到达点F时,这时,离水面距离CF=1.5m,则涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
根据已知条件,要求ED宽,只要求出FD的长度.在如图所示的直角坐标系中,只要求出点D的横坐标即可.
由已知条件可得到点D的纵坐标,又因为点D在涵洞所成的抛物线上,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标.你会求吗?
二、合作探究
探究点一:二次函数与一元二次方程
【类型一】求抛物线与x轴的交点坐标
已知二次函数y=2x2-4x-6,它的图象与x轴交点的坐标是________________.
解析:y=2x2-4x-6=2(x2-2x-3)=2(x-3)(x+1),设2(x-3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1,∴它的图象与x轴交点的坐标是(3,0),(-1,0).故答案为(3,0),(-1,0).
方法总结:抛物线与x轴的交点的横坐标,就是二次函数为0时,一元二次方程的解.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】判断抛物线与x轴交点的个数
已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).
(1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点;
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
解析:(1)只需证明Δ=(m+2)2-4m2≥0即可;(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标,然后根据x的值来求正整数m的值.
(1)证明:∵m≠0,∴Δ=(m+2)2-4m2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,∴此抛物线与x轴总有两个交点;
(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,所以 x-1=0或mx-2=0,解得 x1=1,x2=.当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数.所以正整数m的值为1或2.
方法总结:解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】已知抛物线与x轴的交点个数,求字母系数的取值范围
已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,求k的取值范围.
解析:应分k-3=0和k-3≠0两种情况进行讨论,(1)当k-3=0即k=3时,此函数是一次函数;(2)当k-3≠0,即k≠3时,此函数是二次函数,根据函数图象与x轴有交点可知Δ=b2-4ac≥0,求出k的取值范围即可.
解:当k=3时,函数y=2x+1是一次函数.∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点,∴k=3;
当k≠3时,y=(k-3)x2+2x+1是二次函数.∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac≥0.∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16,∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述,k的取值范围是k≤4.
方法总结:由于k的取值范围不能确定,所以解决本题的关键是要注意分类讨论,不要漏解.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型四】二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合
已知:抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)求证:不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点;
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的平方和为3,求a的值.
解析:(1)利用关于x的一元二次方程x2+ax+a-2=0的根的判别式的符号进行证明;(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x+x=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2a+4=3,由此可以求得a的值.
(1)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,∴不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点;
(2)解:∵x1+x2=-a,x1x2=a-2,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2a+4=3,∴a=1.
方法总结:判断一元二次方程与x轴的交点,只要看根的判别式的符号即可,而要判断一元二次方程根的情况,要利用根与系数关系.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二:利用二次函数解决运动中的抛物线问题
如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4=7)?
(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米(取2=5)?
解析:要求足球开始飞出到第一次落地时,抛物线的表达式,则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标,因为OA=1,OB=6,BM=4,所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点C在x轴上,所以要求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0代入函数关系式,通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解的方法有多种.
解:(1)设第一次落地时,抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4,
由已知:当x=0时,y=1,即1=36a+4,所以a=-.
所以函数表达式为y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1;
(2)令y=0,则-(x-6)2+4=0,
所以(x-6)2=48,所以x1=4+6≈13,x2=-4+6<0(舍去).
所以足球第一次落地距守门员约13米;
(3)如图,第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意:CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位).
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