北师大初中数学九年级上册用公式法求解一元二次方程1教案

用公式法求解一元二次方程教案

1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2．会用公式法解一元二次方程；(重点)

3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)

一、情景导入

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.

二、合作探究

探究点一：用公式法解一元二次方程

方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．

解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝(－7)2－43(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.

故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.

方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．

用公式法解下列方程：

(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；

(3)x2－2x＋1＝0.

解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．

解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.

∵a＝3，b＝5，c＝－2，

∴b2－4ac＝52－43(－2)＝49＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝－2；

(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，

∴b2－4ac＝32－423＝9－24＝－15＜0，

∴原方程没有实数根；

(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，

∴b2－4ac＝(－2)2－411＝0，

∴x＝＝，

∴x1＝x2＝1.

方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．

探究点二：一元二次方程根的判别式

【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况

已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()

A．该方程有两个相等的实数根

B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根

D．该方程根的情况不确定

解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－41(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.

方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．

【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围

若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A．k>－1 B．k>－1且k≠0

C．k<1 D．k<1且k≠0

解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.

易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.

【类型三】根的判别式与三角形的综合应用

已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．

解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．

解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2 ax＋(c－b)m＝0.

∵原方程有两个相等的实数根，

∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，

即4m(a2＋b2－c2)＝0.

又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.

根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．

方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．