北师大初中八年级数学下册异分母分式的加减教案

异分母分式的加减教案

1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)

2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)

一、情境导入

小学我们学习过异分母分数的加减法，如＋＝＋＝，那么如何计算－呢？

二、合作探究

探究点一：分式的通分

【类型一】最简公分母

分式与的最简公分母是________．

解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．

方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．

【类型二】分母是单项式分式的通分

通分．

解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．

解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；

(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；

(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－.

方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．

【类型三】分母是多项式分式的通分

解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．

解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，

(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，

方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．

探究点二：异分母分式的加减法

【类型一】异分母分式的加减法运算

计算：

解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．

方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．

【类型二】分式的混合运算

计算：

方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

探究点三：分式运算的化简求值

【类型一】先化简，再根据所给字母的值求分式的值

先化简，再求值：(＋)，其中x＝1，y＝－2.

解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．

解：原式＝＝，

当x＝1，y＝－2时，原式＝＝－.

方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．

【类型二】先化简，再选择字母的值求分式的值

先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：－.

解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．

当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)

方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．

【类型三】整体代入求值

已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－的值．

解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．

解：

∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝.

方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．

探究点四：运用分式解决实际问题

有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？