北师大初中八年级数学下册分式方程的解法教案

分式方程的解法教案

1．在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；(重点)

2．了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．(难点)

一、情境导入

方程＝与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？

二、合作探究

探究点一：分式方程的解法

【类型一】解分式方程

解方程：

(1)＝；(2)＝－3.

解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．

解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得x＝－5，检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解；

(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2，检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，∴原方程无解．

方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．

【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围

关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．

解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.

方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.

探究点二：分式方程的增根

【类型一】求分式方程的增根

若方程＝＋有增根，则增根为()

A．0 B．2 C．0或2 D．1

解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.

方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．

【类型二】分式方程有增根，求字母的值

如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为()

A．－3 B．－2

C．－1 D．3

解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.

方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【类型三】分式方程无解，求字母的值

若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．

解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．

解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.

方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．