北师大初中数学八年级上册数据的离散程度1教案

数据的离散程度教案

1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法；

2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、难点)

一、情境导入

从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择乙运动员参赛．

问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？

问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？

二、合作探究

探究点一：极差

欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是()

A．0.5 B．8.5 C．2.5 D．2

解析：这组数据的最大值是9.5，最小值是7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝2.故选D.

方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键．

探究点二：方差、标准差

【类型一】方差和标准差的计算

求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差．

解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s2＝[(x＋x＋…＋x)－nx2]；(2)s2＝[(x1′2＋x2′2＋…＋xn′2)－nx′2]，其中x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，a是接近原数据平均数的一个常数，x′是x1′，x2′，…，xn′的平均数．

解：方法一：因为x＝(74＋62＋82＋5＋9)＝7，所以s2＝[(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2.

所以标准差s＝.

方法二：同方法一，所以s2＝[(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－1072]＝1.2，标准差s＝.

方法三：将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0，所以s2＝[02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－1002]＝1.2.所以标准差s＝.

方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算．

【类型二】方差和标准差的应用

在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下：

甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29；

乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26.

(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？

(2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况．

解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出s甲与s乙，最后比较大小并作出判断．

解：(1)x甲＝(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)，

x乙＝(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)．

(2)s＝[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29，

s＝[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89.

所以s甲＝≈1.51，

s乙＝≈0.94，

因为s甲>s乙，

所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大．

方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据波动越大(小)．

【类型三】统计量的综合应用

甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成图(a)、(b)所示的统计图．

(1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况．

(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙．

(3)就这五场比赛，分别计算两队成绩的方差．

(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？

解析：第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果，从平均分、折线的走势、获胜场数和方差四个方面分别进行简要分析．

解：(1)如图所示．

(2)x乙＝(110＋90＋83＋87＋80)＝90(分)．

(3)甲队成绩的方差s＝[(80－90)2＋(86－90)2＋(95－90)2＋(91－90)2＋(98－90)2]＝41.2；乙队成绩的方差s＝[(110－90)2＋(90－90)2＋(83－90)2＋(87－90)2＋(80－90)2]＝111.6.