北师大初中七年级数学下册垂线教案

垂线教案

1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；

2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点，难点)

一、情境导入

如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？

二、合作探究

探究点一：垂线

【类型一】运用垂线的概念求角度

如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20，求∠AOM和∠NOC的度数．

解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．

解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝220＝40，∴∠NOC＝180－∠BON＝180－40＝140，∠MOC＝∠BON＝40.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90－40＝50，∴∠NOC＝140，∠AOM＝50.

方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．

【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直

如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．

解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90，即∠AOB＋∠BOC＝90.又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90，即∠BOD＝90.再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.

解：OB⊥OD.理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90，即∠AOB＋∠BOC＝90.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90，所以∠BOD＝90，所以OB⊥OD.

方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90.

探究点二：垂线的性质(垂线段最短)

如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．

解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．

解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．

方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．

探究点三：点到直线的距离

如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.

(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；

(2)点C到直线AB的距离是多少？

解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．