北师大初中七年级数学下册多项式与多项式相乘教案

多项式与多项式相乘教案

1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)

2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)

一、情境导入

某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．

学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：

这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．

另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．

由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．

二、合作探究

探究点一：多项式与多项式相乘

【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算

计算：

(1)(3x＋2)(x＋2)；

(2)(4y－1)(5－y)．

解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．

解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；

(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.

方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

【类型二】多项式乘以多项式的混合运算

计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．

解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．

解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.

方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．

探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用

【类型一】多项式乘以多项式的化简求值

先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.

解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．

解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.

方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．

【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合

解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.

解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．

解：去括号后得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝－.

方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．

【类型三】多项式乘以多项式的实际应用

千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．

解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．

解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝532＋332＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．

方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．

【类型四】根据多项式乘以多项式求待定系数的值

已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．

解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．