北师大初中九年级数学下册圆周角和直径的关系及圆内接四边形教案

圆周角和直径的关系及圆内接四边形教案

1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)

2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)

一、情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？

如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？

二、合作探究

探究点一：圆周角和直径的关系

【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30，则∠A的度数为()

A．30 B．45

C．60 D．75

解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90.∵∠CBD＝30，∴∠D＝60，∴∠A＝∠D＝60.故选C.

方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题

如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．

(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？

解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90，根据等腰三角形性质求解．

解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；

(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．

方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点二：圆内接四边形

【类型一】圆内接四边形性质的运用

如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125，则∠D＝()

A．65 B．120 C．125 D．130

解析：∵∠EBA＝125，∴∠ABC＝180－125＝55.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180，∴∠D＝180－55＝125.故选C.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120，那么∠BCD是()

A．120 B．100

C．80 D．60

解析：∵∠BOD＝120，∴∠A＝60，∴∠C＝180－60＝120，故选A.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.

解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.

证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.

方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．

【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点，AC、BD交于点E.

(1)求证：△CBE∽△CAB；

(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．

(1)证明：∵点C为的中点，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；