北师大初中七年级数学下册三角形的中线、角平分线、高教案

三角形的中线、角平分线、高教案

1．掌握三角形的中线、角平分线、高的定义；(重点)

2．能够准确地画出三角形的中线、角平分线和高，并能够对其进行简单的应用．(难点)

一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．

二、合作探究

探究点一：三角形的中线

【类型一】应用三角形的中线求线段的长

在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.

解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5cm＝2cm，∴BA＝7cm.故答案为7cm.

方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．

【类型二】利用中线解决三角形的面积问题

如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．

解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

探究点二：三角形的角平分线

如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60，∠BCE＝40，求∠ADB的度数．

解析：根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60，得出∠BAD＝30.再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．

解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60，∴∠DAC＝∠BAD＝30.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40，∴∠B＝50，∴∠ADB＝180－∠B－∠BAD＝180－30－50＝100.

方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．

探究点三：三角形的高

【类型一】三角形高的画法

作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()

解析：从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过点C作边AB的垂线段，即作AB边上的高CD，所以作法正确的是D.故选D.

方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．

【类型二】根据三角形的面积求高

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．

解析：根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知ADBC＝BPAC，解得BP＝.故答案为.

方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．

【类型三】三角形的内角与角平分线、高的综合运用

在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．

解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．