北师大初中八年级数学下册三角形三边的垂直平分线及作图教案

三角形三边的垂直平分线及作图教案

1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)

2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．

一、情境导入

现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？

二、合作探究

探究点一：三角形三边的垂直平分线

【类型一】运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度

如图，在△ABC中，∠BAC＝110，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．

解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．

解：在△ABC中，∵∠BAC＝110，∴∠B＋∠C＝180－110＝70.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110－70＝40.

方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

【类型二】运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．

解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，可求得∠B＝∠C＝30.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．

解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，∴∠C＝∠B＝30.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30，∠BAM＝∠B＝30，∴∠ANM＝∠AMN＝60，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝cm.

方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．

【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用

某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．

解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．

方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．

探究点二：作图

已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝c.

解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．

解：作法：1.作线段AB＝c；

2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；

3．在射线DF上截取DC＝c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．