人教版高中数学选修3离散型随机变量及其分布列(1)教学设计

课程目标

学科素养

A.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别;

B.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果.

1.数学抽象：离散型随机变量的概念

2.逻辑推理：离散型随机变量与函数的关系

3.数学运算：会写出离散型随机变量

4.数学建模：离散型随机变量的表示

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.

1. 随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之

前却不能肯定这次试验

会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起

见，也简称试验.

2.函数：一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合 A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:

随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？

二、新知探究

探究1.有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.

（1）掷一枚骰子用实数𝑚(𝑚=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为𝑚”，又如,

掷两枚骰子样本空间为Ω={ (𝑥,𝑦) |𝑥,𝑦=1,2,⋯6},

用𝑥+𝑦表示“两枚骰子的点数之和”样本点(𝑥,𝑦)就与实数𝑥+𝑦对应.

（2）.某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？

实数𝑚(𝑚=0,1,2,3,4,5,6,,10)表示“击中环数𝑚”

（0环、1环、2环、、10环）共11种结果

（1）随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：

，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系

探究2.有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.

类似地,（2）.掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示

（3）.随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等,对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。

即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。

探究3.考察下列随机试验及其引入的变量：

试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;

试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么?

各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y 有哪些共同的特征?

试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,

用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空Ω₁={000,001,010,100,011,101,110,111}

试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.

问题探究

问题：变量X,Y 有哪些共同的特征?

(1).取值依赖于样本点;(2).所有可能取值是明确的.

1.随机变量的定义

2.离散型随机变量的定义：

随机变量的特点

（1）可以用数字表示

（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值

（3）在试验之前不可能确定取何值

随机变量将随机事件的结果数量化．

1.下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

(1)上海国际机场候机室中2020年10月1日的旅客数量；

(2)2021年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；

(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

(4)体积为1000 cm³的球的半径长．

【解】 (1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．

(3)在2019年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，也可能多，也可能少，因此是随机变量．

(4)体积为1000 cm³的球的半径长为定值，故不是随机变量．

随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．

3.随机变量与函数的关系

(1)相同点

(2)不相同点：

所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果,不一定是实数

4.连续性随机变量

连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量.

如：

问题：你能总结随机变量X的特点吗？

(1)可以用数量来表示;

(2)试验前可以判断其可能出现的所有值;

(3)在试验前不能确定取何值.

2.下列变量中是离散型随机变量的是？

(1)下期《诗词大会》节目中过关的人数；

(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；

(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位．

答案：(1)(3)

【解析】 (1)是离散型随机变量．因为过关人数可以一一列出．

(2)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．

(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．

(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．

变式探究：将本例的(4)改为：监测站所测水位X是否超过警戒水位(警戒水位是29 m)，X是离散型随机变量吗?

解：设X＝，是离散型随机变量．

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法

（1）明确随机试验的所有可能结果；

（2）将随机试验的试验结果数量化；

（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.

三、典例解析

例1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：

（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X 。

（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X．

（3）抛掷两个骰子，所得点数之和X．

（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X ．

（5）某一自动装置无故障运转的时间X．

（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X ．

解析：（1）X ＝1、2、3、、10；

（2）X＝0、1、2、3；

（3）X＝2、3、4、、12；

（4） X＝1、2、3、、n、；

（5） X取内的一切值； （6）X取内的一切值.

例2.从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．

解析：设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；

X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；

X＝5，表示取出标有2,3或1,4的两张卡片；

X＝6，表示取出标有2,4或1,5的两张卡片；

X＝7，表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片；

X＝8，表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；

X＝9，表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；

X＝10，表示取出标有4,6的两张卡片；

X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．

变式探究：本题中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量X，请问X有哪些取值？其中X＝4表示什么含义？

解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5个．

“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6两种结果．

跟踪训练：⑴掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有 ．

⑵袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是 个；

“X＝4”表示 ．

解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．

解决此类问题的关键是理解清楚随机变量所有可能的取值及其取每一个值时对应的意义，不要漏掉或多取值，同时要找好对应关系．

例3.某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只．商场有优惠规定：一次购买这种玻璃水杯小于或等于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次购买水杯的只数X是一个随机变量，那么他所付的款额Y是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么关系？

解析：公司至少要买50只，则

Y=506+(X−50)60.7=300+4.2𝑋−210=4.2𝑋+90.

若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量.

开门见山，提出问题.

通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立离散型随机变量的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过与函数概念的比较，让学生深化对离散型随机变量的概念。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过概念辨析，让学生与连续性随机变量比较，深化对随机变量的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，深化概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )

A．取到的球的个数

B．取到红球的个数

C．至少取到1个红球

D．至少取到1个红球的概率

B [A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]

2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

D [ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]

3．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．

0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]

4.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.

(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.

(3). 在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？

[解] (1)X可取0,1,2,3.X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球．

(2)X可取3,4,5.X＝3表示取出的球编号为1,2,3；

X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.

X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.

(3) ξ＝10表示取5个球全是红球；

ξ＝7表示取1个白球，4个红球；

ξ＝4表示取2个白球，3个红球；

ξ＝1表示取3个白球，2个红球．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。