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北师大初中九年级数学下册图形面积的最大值1教案

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  • 作者:yuuta设计
  • 图形面积的最大值教案

    1.能根据实际问题列出函数关系式,并根据问题的实际情况确定自变量取何值时,函数取得最值;(重点)

    2.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力,提高用数学的意识,在解决问题的过程中体会数形结合思想.(难点)

    一、情境导入


    如图所示,要用长20m的铁栏杆,围成一个一面靠墙的长方形花圃,怎么围才能使围成的花圃的面积最大?

    如果花圃垂直于墙的一边长为xm,花圃的面积为ym2,那么y=x(20-2x).试问:x为何值时,才能使y的值最大?

    二、合作探究

    探究点一:二次函数y=ax2+bx+c的最值

    已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,则a的值为()

    A.3 B.-1 C.4 D.4或-1

    解析:∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2,∴a>0,y最小值===2,整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4.∵a>0,∴a=4.故选C.

    方法总结:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种是由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.

    变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

    探究点二:利用二次函数求图形面积的最大值

    【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值

    如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.

    (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;

    (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?

    (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积.

    解析:(1)根据AB为xm,则BC为(24-4x)m,利用长方形的面积公式,可求出关系式;(2)由(1)可知y和x为二次函数关系,根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长;(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可.

    解:(1)∵AB=x,∴BC=24-4x,∴S=ABBC=x(24-4x)=-4x2+24x(0<x<6);

    (2)S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36,∵0<x<6,∴当x=3时,S有最大值为36;

    (3)∵∴4≤x<6.

    所以,当x=4时,花圃的面积最大,最大面积为32平方米.

    方法总结:根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围.

    变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

    【类型二】利用割补法求图形的最大面积

    在矩形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,四边形EFGH的最大面积是()

    A.1350 B.1300 C.1250 D.1200

    解析:设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意得BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则S△AHE=S△CGF=x2,S△DGH=S△BEF=(60-x)(40-x),所以四边形EFGH的面积为S=6040-x2-(60-x)(40-x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250(0<x≤40).当x=25时,S最大值=1250.故选C.

    方法总结:考查利用配方法求二次函数的最值,先配方,确定函数的对称轴,再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值.

    变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

    【类型三】动点问题中的最值问题

    如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,垂足为E,EF与线段BA交于点F,设CE=x,BF=y.

    (1)求y关于x的函数关系式;

    (2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

    (3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?

    解析:(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.

    解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90-∠CED=∠CDE.又∠B=∠C=90,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=;

    (2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=-x2+x=-(x2-8x)=-(x-4)2+2,所以当x=4时,y取得最大值为2;

    (3)∵∠DEF=90,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8-x.解方程=,得x=6,或x=2.当x=2时,m=6;当x=6时,m=2.

    方法总结:在解题过程中,要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式,是解决问题的关键.

    变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

    【类型四】图形运动过程中的最大面积问题

    如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题:

    (1)当t=3秒时,求S的值;

    (2)当t=5秒时,求S的值;

    (3)当5秒≤t≤8秒时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.

    解析:当t=3秒和5秒时,利用三角形相似求出重合部分的面积.当5秒≤t≤8秒时,利用二次函数求出重合部分面积的最大值.

    解:(1)如图①,作PE⊥QR,E为垂足.∵PQ=PR,∴QE=RE=QR=4cm.在Rt△PEQ中,PE==3(cm).当t=3秒时,QC=3cm.设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP.∴=()2.∵S△QEP=43=6,∴S=()26=(cm2);

    (2)如图②,当t=5秒时,CR=3cm.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP,可求出CG=,∴S△RCG=3=(cm2).又∵S△PQR=83=12(cm2),∴S=S△PQR-S△RCG=12-=(cm2);

    图③

    (3)如图③,当5秒≤t≤8秒时,QB=t-5,RC=8-t.设PQ交AB于点H,PR交CD于点G.由△QBH∽△QEP,EQ=4,∴BQ∶EQ=(t-5)∶4,∴S△BQH∶S△PEQ=(t-5)2∶42,又S△PEQ=6,∴S△QBH=(t-5)2.由△RCG∽△REP,同理得S△RCG=(8-t)2,∴S=12-(t-5)2-(8-t)2=-t2+t-.当t=-=时,S最大,S的最大值==(cm2).

    方法总结:本题是一个图形运动问题,解题的方法是将各个时刻的图形分别画出,由“静”变“动”,再设法求解,这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效.

    探究点三:利用二次函数解决拱桥问题

    一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.

    (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②),求抛物线的解析式;

    (2)求支柱EF的长度;

    (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

    解析:(1)根据题目可知A,B,C的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解;(2)设F点的坐标为(5,yF),求出yF,即可求出支柱EF的长度;(3)设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和.作GH⊥AB交抛物线于点H,求出点H的纵坐标,判断是否大于汽车高度即可求解.

    解:(1)根据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+c,将B,C的坐标代入y=ax2+c,得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+6;


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