北师大初中八年级数学下册平行四边形边和角的性质教案

平行四边形边和角的性质教案

1．理解平行四边形的概念；(重点)

2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？

二、合作探究

探究点一：平行四边形的定义

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．

解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．

证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180，∠2＋∠D＋∠CAD＝180，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．

探究点二：平行四边形的边、角特征

【类型一】利用平行四边形的性质求边长

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．

解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AF＝DE＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.

方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

【类型二】利用平行四边形的性质求角度

如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125，则∠BCE的度数为()

A．35 B．55

C．25 D．30

分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180.∵∠A＝125，∴∠B＝55.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90，∴∠BCE＝90－55＝35.故选A.

方法总结：平行四边形对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．

【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论

如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.

解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180，∠GCB＋∠FCP＝180，∴∠ECP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.

方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题．

【类型四】判断直线的位置关系

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．

解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180，进而可得出DM与MC的位置关系．

解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90，∴∠DMC＝90，∴DM与MC互相垂直．