北师大初中数学九年级上册用配方法求解较复杂的一元二次方程1教案

用配方法求解较复杂的一元二次方程

1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点)

2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)

一、情景导入

某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t2，那么行驶200m需要多长时间？

二、合作探究

探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

用配方法解方程：－x2＋x－＝0.

解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．

解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0.

移项，得x2－5x＝－.

配方，得x2－5x＋(－)2＝－＋(－)2，

即(x－)2＝.

两边开平方，得x－＝.

即x－＝或x－＝－.

所以x1＝，x2＝.

易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．

探究点二：配方法的应用

【类型一】利用配方法求代数式的值

已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．

解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．

解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0.

∴a－＝0，b－＝0，解得a＝，b＝.

∴a－4＝－4＝－.

方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．

【类型二】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系

请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．

解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．

解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2＝(x－)2＋，而(x－)2≥0，

∴(x－)2＋≥.

∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．

方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．

【类型三】利用配方法解决一些简单的实际问题

如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．

解析：若设花砖路面宽为xm，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．

解：设花砖路面的宽为xm.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝4824.

整理，得x2－36x＝－128.

配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，

即(x－18)2＝196.

两边开平方，得x－18＝14.

即x－18＝14，或x－18＝－14.

所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.

故花砖路面的宽为4m.

方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．