北师大初中数学八年级上册一次函数与正比例函数1教案
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一次函数与正比例函数教案
1.掌握一次函数的概念,能根据条件写出一次函数的关系式;(重点)
2.掌握正比例函数的概念.(重点)
一、情境导入
生活中,我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈,表示时间过了1min;旋转两圈,表示时间过了2min……
那么,秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢?
二、合作探究
探究点一:一次函数与正比例函数
【类型一】一次函数与正比例函数的识别
下列函数关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?
(1)y=-x-4; (2)y=5x2-6;
(3)y=2πx; (4)y=-;
(5)y=; (6)y=8x2+x(1-8x).
解析:首先看每个函数的表达式能否变形转化为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式,如果x的次数是1,则是一次函数,否则不是一次函数;在一次函数中,如果常数项b=0,那么它是正比例函数.
解:(1)是一次函数,不是正比例函数;
(2)不是一次函数,也不是正比例函数;
(3)是一次函数,也是正比例函数;
(4)是一次函数,也是正比例函数;
(5)不是一次函数,也不是正比例函数;
(6)是一次函数,也是正比例函数.
方法总结:一个函数是一次函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零;判断一个函数是正比例函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零,常数项为零.
【类型二】根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值
已知函数y=(m-5)xm2-24+m+1.
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m的值.
解析:(1)要使函数是一次函数,根据一次函数的定义x的指数m2-24=1,且一次项系数m-5≠0;(2)要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条件.
解:(1)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m2-24=1且m-5≠0,所以m=5且m≠5,所以m=-5.所以当m=-5时,函数y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数.
(2)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m2-24=1且m-5≠0且m+1=0.所以m=5且m≠5且m=-1,则这样的m不存在,所以函数y=(m-5)xm2-24+m+1不可能为正比例函数.
方法总结:函数是一次函数,则k≠0,且自变量的次数为1.当b=0时,一次函数为正比例函数.
探究点二:一次函数关系式的确定
某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨,用以生产甲、乙两种产品,生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表:
产品
资源/吨)
甲
乙
矿石
10
4
煤
4
8
煤的价格为400元/吨,生产1吨甲产品除需原料费用外,还需其他费用400元,甲产品每吨售价4600元;生产1吨乙产品除原料费用外,还需其他费用500元,乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完,设生产甲产品x吨,乙产品m吨,公司获得的总利润为y元.
(1)写出m与x的关系式;
(2)写出y与x的函数关系式.(不要求写自变量的取值范围)
解析:(1)因为矿石的总量一定,当生产的甲产品的数量x变化时,那么乙产品的产量m将随之变化,m和x是动态变化的两个量;(2)题目中的等量关系为总利润y=甲产品的利润+乙产品的利润.
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