双曲线的简单几何性质（1）教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册

课程目标

学科素养

A.掌握双曲线的简单几何性质.

B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.

1.数学抽象：双曲线的几何性质

2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质

3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质

4.直观想象：双曲线的几何性质

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线

(>0，>0)，

的哪些几何性质，如何研究这些性质？

1、范围

利用双曲线的方程求出它的范围，由方程可得

于是，双曲线上点的坐标（，）都适合不等式，

所以 或;

2、对称性

(>0，>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。

x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，

又叫做双曲线的中心。

3、顶点

（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .

顶点是

（2）如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，

它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线

4、渐近线

（1）双曲线 (>0，>0)，的渐近线方程为：

（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图

4、渐近线

慢慢靠近

5、离心率

（1）定义：e =

（2）e的范围：e >1

（3）e的含义：

因为另外，注意到=,说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.

如果双曲线C的标准方程是

(>0，>0)，

那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，

那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？

双曲线的几何性质

(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

1.判断

(1)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )

(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( )

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( )

答案:(1)√ (2) (3)√

2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为( )

A.-5 B.-35 C.19 D.-11

解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,

所以m<-8,∴e==2,解得m=-35.

答案:B

二、典例解析

例1 求双曲线9y²-4x²=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

解:将9y²-4x²=-36化为标准方程为=1,

即=1,所以a=3,b=2,c=.

因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),

焦点坐标为(-,0),(,0),

实轴长2a=6,虚轴长2b=4,

离心率e=,

渐近线方程为y=x=x.

由双曲线的方程研究其几何性质的注意点

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.

(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.

(3)由c²=a²+b²求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.

跟踪训练1 求双曲线nx²-my²=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

解:把方程nx²-my²=mn(m>0,n>0)

化为标准方程为=1(m>0,n>0),

由此可知,半实轴长a=,

半虚轴长b=,c=,

焦点坐标为(,0),(-,0),

离心率e=,

顶点坐标为(-,0),(,0),

所以渐近线方程为y= x,即y=x.

例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.

(1)过点P(3,-),离心率为;

(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;

(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).

解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),

∵e=,∴=2,即a²=b².①

又双曲线过P(3,-),∴=1,②

由①②得a²=b²=4,故双曲线方程为=1.

若双曲线的焦点在y轴上,

设其方程为=1(a>0,b>0),

同理有a²=b²,③

=1,④

由③④得a²=b²=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.

(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,

∴焦点是F₁(-,0),F₂(,0).

因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).

设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

由已知条件,有解得

∴所求双曲线的标准方程为-y²=1.

(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,

∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为=1.

2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧

(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k²x²-y²=λ(λ≠0).

(6)渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a²x²-b²y²=λ(λ≠0).

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).

(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).

(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b²<λ2).

(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).

跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;

(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等.

解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=,从而b=4,c=a,

代入c²=a²+b²,得a²=9,故双曲线的标准方程为=1.

(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,

故可设其方程为=λ(λ>0),

将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,

故所求双曲线的标准方程为-y²=1.

类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养

三、达标检测

1.双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )

A.4 B.-4 C.- D.

解析:由双曲线方程mx²+y²=1,知m<0,则双曲线方程可化为y²-=1,

则a²=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b²=4,∴m=-,故选C.

答案:C

2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=x,则下列结论正确的是 ( )

A.C的方程为=1 B.C的离心率为

C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2

解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以,因为c=5,所以b=4,a=3,

所以C的方程为=1,A正确;离心率为e=,B不正确;

焦点到渐近线的距离为d==4,C不正确;

|PF|的最小值为c-a=2,D正确.

答案:AD

3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 .

解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),

∴c=4,a²=b²=c²=16=8,故等轴双曲线的方程为x²-y²=8.

答案:x²-y²=8

4.关于双曲线=-1,有以下说法:

①实轴长为6;②双曲线的离心率是;③焦点坐标为(5,0);④渐近线方程是y=x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.

正确的说法是 .(把所有正确说法的序号都填上)

解析:∵双曲线=-1,

即=1,∴a=4,b=3,c==5,

∴①实轴长为2a=8,故①错误;

②双曲线的离心率是e=,故②正确;

③焦点坐标为F(0,5),故③错误;

④渐近线方程是y=x,故④正确;

⑤焦点到渐近线的距离为d==3,故⑤正确.

答案:②④⑤

5.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .

解析:根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12. 双曲线图像如图.

|PF|-|AP|=2a=4,①

|QF|-|QA|=2a=4,②

①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,

∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.

答案:32

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。