椭圆的简单几何性质（2）教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册

课程目标

学科素养

A.根据几何条件求出椭圆的方程．

B. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用;

C.会判断直线与椭圆的位置关系．

1.数学抽象：椭圆的几何性质

2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

3.数学运算：直线与椭圆位置关系的判断

4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

椭圆的几何性质

二、典例解析

例5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位另一个焦点上，由椭圆一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点，已知 ，=2.8cm, =4.5cm,试建立适当的平面直角坐标系，求截口ABC所在的椭圆方程(精确到0.1cm)

典例解析

解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为

(>>0)

在Rt 中,

有椭圆的性质 , =2

所以所求椭圆方程为

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b²＝a²－c²等．

跟踪训练1．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

B [由题意，得解得

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.]

例6．动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹。

【解析】如图，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合

， 由此得

将上式两边平方，并化简，得

即：

例7. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[思路探究] →

→→得出结论

[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x²＋8mx＋2m²－4＝0 ①.

方程①的判别式Δ＝(8m)²－49(2m²－4)＝－8m²＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．

2．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．

[解] 因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1.

当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．

通过知识回顾，和高考真题的解析，帮助学生归纳题型，形成基本解题思路。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。

通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，掌握根据椭圆的基本几何性质及其简单运用，了解椭圆的第二定义，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则( )

A．a²＝15，b²＝16 B．a²＝9，b²＝25

C．a²＝25，b²＝9或a²＝9，b²＝25 D．a²＝25，b²＝9

【答案】D

[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a²＝25，b²＝9.]

2．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )

A． B．∪

C． D．

B [由题意知＋>1，即a²>，解得a>或a<－.]

3．（2018全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）

【答案】C

【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

4．（2019全国高考）已知椭圆C的焦点为，过F₂的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得

所求椭圆方程为，故选B．

5．椭圆x²＋4y²＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

[由

消去y并化简得x²＋2x－6＝0.

设直线与椭圆的交点为M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－6.

∴弦长|MN|＝|x₁－x₂|＝＝＝.]

6．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．

[解] (1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.

由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．

设直线与C的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x²－3x－8＝0，

则x₁＋x₂＝3，∴＝，＝(x₁＋x₂－6)＝－，

即中点的坐标为.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。