北师大初中八年级数学下册直角三角形全等的判定教案

直角三角形全等的判定教案

1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)

2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)

一、情境导入

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

(1)你能帮他想个办法吗？

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？

二、合作探究

探究点：直角三角形全等的判定

【类型一】应用“HL”证明三角形全等

如图，已知∠A＝∠D＝90，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.

求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.

解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．

证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵

∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．

方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

【类型二】利用“HL”证明线段相等

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.

解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.

证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.

方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

【类型三】利用“HL”证明角相等

如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.

解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．

证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.

方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．

【类型四】利用“HL”解决动点问题

如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．

解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

【类型五】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等

如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.

证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵