人教版新课标小学数学五年级下册分数的意义和性质教案

分数的意义和性质教案

教学内容

分数的意义和性质

教科书第60——103页，包括18个例题，“做一做”和练习十一——练习二十中的习题。

教学目标

1. 经历分数产生的过程，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。

2. 认识真分数与假分数，知道带分数是一部分的假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。

3. 经历分数的基本性质的形成过程，理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。

4. 现实情境与数学知识相结合，理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。

5. 会进行分数与小数的互化。

6. 培养灵活的思维方式和解决实际问题的能力，培养收集、处理问题的能力。

7. 加强数学知识与现实生活的联系，培养学习数学的兴趣，获得学习的成功体验，增进学好数学的信心。

学情分析

本单元是学生系统学习分数的开始。在三年级上学期的学习中，学生已借助操作、直观，初步认识了分数，知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。还学习了简单的同分母分数加、减法。在本学期，又学习了因数、倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。这些都是本单元学习的重要基础。

教学重点

分数的意义；分数的基本性质；约分；通分。

教学难点

建立单位“1”的概念；建立分数单位的概念；分数与除法的关系。

课时安排 20课时

分数的产生和意义

学习内容

教科书第60——61页上的内容，第62页“做一做”，。

学习目标

1. 了解分数的产生，知道单位“1”不仅可以表示一个实物、一个图形、一个计量单位，也可以表示由一些物体组成的一个整体，理解分数的意义，以及分数单位的含义。

2. 经历观察、讨论、合作交流概括出分数的意义。

3. 培养观察能力和抽象概括能力。

学习重点

理解单位“1”和分数的意义

学习难点

建立单位“1”的概念，突破一个整体为多个物体的集合的学习。

教学过程：

一、教学体会分数的产生。

1、 提问：我们已经认识了哪些数？

如果把一块蛋糕平均分给三个同学，每人得多少块？

如果用米尺来量黑板的长度，能正好得到整数的结果吗？

2、 提问：你知道为什么会出现分数，分数是是怎么产生的吗？说说你的理解

3、 揭示课题：今天这节课我们来研究有关分数的内容：分数的意义。

二、分数的意义。

1、 再现旧知，作好铺垫。

（1）（出示一根火腿肠）把它平均分成两份。

每份怎样表示（ 1/2）

（2）（拿出一张长方形纸）折出它的1/2 。

（体会各种形状为什么都用1/2 表示），

（4） 揭示：一个物体，我们可以把它们看作一个整体，可以用自然数1表示，称它们为单位“1”。（把一个物体看作一个整体在三年级已经学过，因此这儿可以处理的简单一些。）

2、 加强直观，探索新知。

（1） 深入理解单位“1”。

①出示红花图。

出示香蕉图学生观察。

提问：你观察到了什么？（4个香蕉平均分成了4份）

揭示：这里，可以把4个香蕉看成是一个整体，即由许多物体组成的一个整体。

提问：1 个香蕉是这个整体的几分之几？为什么？

揭示：这里，由4个香蕉组成的一个整体也可以称作单位“1”。

提问：单位“1”可以是什么？

②出示面包图。

提问：把谁看作单位“1”？

怎么分的？

每份几只？是几分之几？

③小结：由此可见，单位“1”可以是一个物体，也可以是一些物体组成的一个整体，它用自然数1表示，是否就是自然数1呢？为什么？

(把一些物体看作单位“1”是本课的难点，应该从道理上让学生明白，关键让学生掌握把这些物体平均分成了几份)

（2） 概括分数的意义。

提问：通过刚才的学习，我们已经更进一步地认识了一些分数，现在你能说说什么样的数叫做分数了吗？（小组讨论）

揭示：（分数的意义）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。

提问：要得到一个分数，必须把单位“1”怎么样？（强调平均分）

练习：P62做一做

情境：

①如果将全班人数看作单位“1”，可以怎么分？得到哪些分数？

②一生起立，你可以用怎样的分数描述他？（把什么看作单位“1”）

3、 自学“分数单位”

阅读课文后学生谈谈是怎样理解的。

三、课堂小结。

谈谈你对本课的体会。

四、课堂练习。

1、 说出下面各分数的意义。

（1）修好了一条路的3/4 。

（2）2/3 米。

（3）国画组里2/5 是一年级新生。

2、 游戏、活动。

数出9根小棒：

（1） 拿走这些小棒的1/3 ；

（2） 拿走剩下的1/2 ；

（3） 拿走一部分，使剩下的是1/3 。

难点点拨

建立单位“1”的概念。“把8块糖平均分给4个人，每人分得几分之几？每人分得几块？”第一问可以根据分数的意义来思考：把8块糖看作单位“1”，平均分给4个人，也就是平均分成了4份，每人分得 ；第二问可以根据除法的意义来思考：把8块糖平均分给4个人，每人分几块，也就是把8平均分成4份，求每份是多少，用除法计算。列式为84=2（块）。

练习十一习题解答

1. 都是一个物体的几分之几，答案依次是 、 、 、 。

2. 把这套茶杯看作一个整体，也就是单位“1”，把它平均分成了3份，每个茶杯就是这套茶杯的 ；把一盒月饼看作单位“1”，平均分成8份，每块月饼就是这盒月饼的 。

3. 左图中把这些粽子看作单位“1”，平均分成了4份，每袋粽子就是这些粽子的；右图中，把这盒跳棋看作单位“1”，每种颜色的跳棋就是这盒跳棋的。

4. 在给郁金香涂色时，可以把其中一束花涂成红色，其它两束——即 涂成自己喜欢的颜色；在给气球涂色时，选择1组涂绿色，另一组——即 选其它颜色就可以了。

5. 本小题是含有两个知识点。①根据分数的意义，把12块饼干看作单位“1”，平均分成3份，每人分得 包；②涉及到分数表示的实际数量，这是一个难点，可以通过实际操作完成。包是4块。

6. 本题是一道实际应用的题，可以结合生活实际举例，在举例中进一步认识分数。

7. （读作八分之一）表示把人的身高看作单位“1”，头部的高度占整个身高的 ； （读作五分之三）表示把整个长江的干流看作单位“1”，受污染的部分占整个长江干流的 ； （读作十分之三）表示把死海表层的水看作单位“1”，含盐量占死海表层水的 。

8. 读作六分之一， 读作七分之二， 读作是十五分之四， 读作十八分之十一，读作一百分之七。它们的分数单位分别是： 、 、 、 、 。

9. 本题有两个知识点：一是根据分数的意义涂色，是把12个苹果平均分成了2份，1份有6个苹果； 是把12个苹果平均分成了3份，1份有4个苹果； 是把12个苹果平均分成了4份，1份有3个苹果； 是把12个苹果平均分成了6份，1份有2个苹果； 是把12个苹果平均分成了12份，1份有1个苹果。二是在涂色中感受平均分成的份数越多，每一份越少，也可以说随着分母的增大，几分之一所表示的苹果个数，从的6个到 的1个，相应地在减少。

分数与除法

学习内容

教科书第65——66页例1、例2、例3及“做一做。

学习目标

1. 理解并掌握分数与除法的关系，知道如何用分数来表示除法算式的商。

2. 培养动手操作的能力，合作交流的能力，发展逻辑思维和分析处理问题的能力。

3. 培养探索和思考的习惯及转化的思想。

学习重点

掌握分数与除法的关系。

学习难点

具体体会每一个商的由来，它具体表示的意义。

教学过程

一、创设情境 导入新课

1.把6个蛋糕平均分给3人，每人分几个？

3个蛋糕平均分给3人，每人分几个？

小结：把一个数平均分成几份，求1份是多少，要用除法计算。

（用这种推理的方法更能使学生理解分数与除法的关系）

2.口答。

23= 47=

提问：你能直接说出它的准确商是多少？

3.导入：

两个自然数相除，在不能整除的时候，就可以用分数来表示除法的商。究竟怎样用分数来表示除法的商呢？这就是今天要学习的分数与除法的关系。学完了分数与除法的关系，你就能很快说出这里除法算式的商了。

二、探究新知

1、 教学例1。

（1） 出示：把1个蛋糕平均分给3人，每人分几个？

（2） 提问：这道题怎样列式，为什么？

谁能根据分数的意义说出1个蛋糕平均分成3份，结果每人分多少个？

追问：为什么13等于1/3 ？用一个圆形纸片演示得出商。

2、 教学例2。

（1） 出示例2

（2） 提问：把3块饼平均分成几份，求1份是多少怎样列式？

34的商是多少呢？请大家拿出3张同样的圆形纸片，把它看做3块饼，并按题目要求平均分成4份，看1份是多少？

（方法一：先把每个圆平均分成4份，再把12份平均分给4人，每人分得3份，把3份拼在一起，就得出每人分得 3/4块。

方法二：按主题图的方法，把3个圆摞在一起，平均分成4份，再把每份的3个1/4 块拼在一起，得到每人分得3/4 块。

方法三：操作与推理相结合。1块月饼平均分给4人，每人分得1/4 块，3块月饼平均分给4人，每人分得3个1/4 块，是3/4 块。）

（3） 说明：我们把3块饼平均分成4份，每份是3个1/4 块，3个1/4 就是3/4 块。

3、 说明 3/4的意义。

（1） 提问：谁来说一说，3/4 表示什么意义？

这里的34表示什么意义？这个商 3/4表示什么意义？

（2） 指出： 是把单位“1”平均分成4份，表示这样3份的数；

也可以看做把3平均分成4分，表示1份的数，即3除以4的商。

4、 总结分数与除法的关系。

（1） 请同学们观察上面两道算式，你发现用分数表示除法的商时，被除数、除数和分数的分子、分母有什么联系？

（2） 根据刚才发现的规律，分数与除法有这样的关系：

被除数除以除数，商可以写成分数，用除数做分母，被除数做分子。被除数除数=

反过来看，分数的分子就相当于被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数。

（3） 提问：这个关系式里每个数的范围要注意什么？

指出：因为在除法里除数不能为零，所以分数的分母也不能为零。

提问：如果用a表示被除数，b表示除数，那么这个关系式可以怎样写？要注意什么？

板书：ab= （b≠0）

（4） 小结：分数与除法有什么关系？它们有什么区别？

指出：在分数和除法的联系里，分子相当于被除数，分母相当于除数,分数和除法都表示两数相除的关系；不同的是分数是一种数，除法是一种运算。

（分数与除法的关系。（1）当用分数表示整数除法的商时，要用除数作分母，被除数作分子。反过来，一个分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。（2）在整数除法中，除数不能是零；在分数中，分母也不能是零。（3）分数与整数除法的关系用字母来表示更为简明，用字母表示时，要注明b不等于0。（4）分数与除法，除了有联系外，还有区别。除法是一种运算；分数是一种数，但是也可以看作两个数相除。）

（5） 练一练：第66页第1题

5、 教学例3。

出示例3后让学生试分析，说明理由。

可以根据分数与除法的关系计算，也可以根据分数的意义来解答。（例1、例3两个例题都是求具体的“量”是多少，所以都要写单位名称，在处理练习题时应使学生分清楚求的是“量”还是“数”）

练一练：第66页第2题

做完后说说是怎样想的。

三、巩固练习。

练习十二 1--3

难点点拨 具体体会每一个商的由来。可利用具体实物，图形相结合的手段来进行。要注重在大量的数学活动和数学信息中感知知识产生和发展的过程。在实际解决问题的过程中，会遇到这样容易出错问题：“把2米长的绳子平均分成5段，每段占这根绳子的几分之几？每段长几分之几米？”解决的关键就是解答第一问根据分数的意义，解答第二问先根据除法的意义列出除法算式，再根据分数与除法的关系得出商。

练 习 十 二解 答

1. 可以用除法计算解决的实际问题。每袋重多少千克，列式为12，商可以是0.5，也可以是 ；平均装在3个袋中，每袋多少千克，列式为13，商用分数 表示比较方便。注意强调两个商都是“量”，而不是“数”，所以都必须带上单位名称。

2. 明确要求用分数表示。答案是 m2 、 m2 。

3. 答案：9cm= dm 30cm= m(或 m) 133dm3= m3 79dm= m 56cm2= dm2 53ml= L。

4. 通过拟人化的生活插图，给出了一个条件。解答此题有两种方法，基本方法是把地球的质量看作单位“1”，平均分成81份，月球的质量相当于其中的1份，进而直接写出答案。拓展的方法是把月球的质量看作1份，地球的质量看作81份，列出181的算式，再根据分数与除法的关系得到结果是 。

5. 本小题有两种方法。第一种是根据分数的意义直接写出答案，即把1千米平均分成15份，其中的1份就是 千米；第二种是根据路程与时间的关系，列出除法算式115，并根据分数与除法的关系得出 千米。

6. 本题要引导观察图意，第一幅图有两种思路。思路一：根据分数的意义直接写出答案，即把15个橙子看作单位“1”，平均分成了5份，每袋橙子就是这盒橙子的 ；思路二：根据图意用除法列式为15，再根据分数与除法的关系得出 。第二幅图的思路与第一幅图相同，答案为 。

7. 直接根据分数的意义写出答案： 、 。

8. 解答本题根据除法的意义列式为56，再根据分数与除法的关系得出每人分得 m。

9. 解答本题有两种思路，可仿照第4题的方法。答案是 。

真分数和假分数

学习内容

教科书第69页例1、例2，第70页“做一做”，练习十三第1——3题。

学习目标

1. 理解真分数、假分数的意义，能正确地区分真分数、假分数。

2. 培养观察、比较、抽象概括的能力。

3. 感受数学图形的美，感受数学的价值，培养刻苦钻研，不怕困难的学习精神和良好的学习习惯。

学习重点

理解和掌握“真分数”和“假分数”的意义和特征。

学习难点

认识假分数的意义。

教学过程

一、谈话导课

教师：到现在我们学过了整数、小数、分数，那么，分数中分子、分母的大小有几种情况呢？它们又是怎样分类的？这就是今天我们要学的内容。

二、学生自主学习活动

（一）自主认识真分数和假分数

1、 出示例1的图形，学生用分数表示各图中阴影部分的面积，学生汇报，教师板书这3个分数。

2、出示例2的图形，学生用分数表示各图中阴影部分的面积，学生汇报，教师板书这2个分数。

（学生写这3个分数会遇到困难，可以以4/4为基础，把一个圆平均分成4份，分母是4，表示这样的4份，分子也是4，写成4/4 。中图和右图可以采用同样方法进行学习。然后说明，像4/4 、7/4 、11/5 这样的数也是分数。）

观察：这些分数可以分成几类？分类的依据是什么？（分子与分母的大小关系）

思考：它们比1大，还是比1小？为什么？

3、 这样的两类分数分别叫什么分数？请同学们自学课本第69——70页的内容

4、 学生汇报自学情况

（1） 什么叫真分数？什么叫假分数？假分数的分子、分母的大小包括几种情况？

（2） 请你举出几个真分数和假分数的例子。

（二）练习

1.完成“做一做”1、2

2.完成练习十二第1-3

难点点拨

1. 假分数的意义。由于是第一次接触假分数，往往受已有经验的影响，认为只有分子比分母小才是分数，难以建立起假分数的意义。其实，分子可以比分母与分母相等。如表示把单位“1”平均分成了4份，有这样的5份，而5份中的4份正好组成“1”，所以 比1大，它是由1与 组成的数； 表示把单位“1”平均分成了4份，表示其中的4份。

2. 在数轴上找出相应的真分数和假分数。例如上述“做一做”第2题中 ，它是一个真分数，表示把单位“1”平均分成了3份，表示其中的一份，在数轴上找到相应的点。 它是一个假分数，等于1。 它是一个假分数，表示把单位“1”平均分成了6份，表示其中的13份，在数轴上找到相应的点。

假分数化成整数或带分数

学习内容

认识带分数，把假分数转化成整数或带分数

教科书第70页例3、71页例4，第71页“做一做”，练习十三第4——13题。

学习目标

1. 理解带分数的意义，会读、会写带分数；能正确地把假分数化成整数或带分数。

2. 培养分析、理解、抽象概括的能力。

3. 渗透转化的数学思想。

学习重点

理解分数按分子、分母倍数关系的分类，初步掌握假分数化成整数或带分数的算理和方法。

学习难点

理解带分数是假分数中分子不是分母的倍数时的另一种书写形式，探索把假分数化成带分数的算理和方法。

教学过程

一.认识带分数

1.出示例3图形，用分数表示阴影部分的面积，教师说明也可以用1+1／2表示，写作 ，请会读的同学教读法。

2.说明像这样的分数叫带分数。

3.与1比较大小。引导把带分数与1进行大小的比较，知道带分数都大于1，在数轴上表示的带分数都在1的右边。

二.认识如何把假分数化成整数

1.出示8个分数，让学生分类，并说出分类的依据。

第一类 方法一：直接根据分数的意义得出＝2。

方法二：根据分数与除法的关系得出 ＝84＝2。

为了建立起两种方法的联系，也可以这样思考：是8个 ， 4个 是1，而84＝2，所以8个 是2，也就是 ＝84＝2。由此归纳出：当假分数的分子是分母的倍数时，可以用分子除以分母，把假分数化成整数。

2.总结第一类：有些假分数的分子恰好是分母的倍数，这样的假分数实际上是整数，根据分数与除法的关系，可以把这样的假分数化成整数。

3.出示：把下面分数化成整数。

思考：怎样的分数能化成整数？（分子恰好是分母的倍数，这样的假分数能化成整数。）

第二类：通过观察发现、 的分子都不是分母的倍数，把这样的假分数化成带分数也有两种转化的方法

方法一： 是7个 ，其中6个 化成了整数2，还剩1个 ，整数2和 合起来就是 。

方法二：根据分数与除法的关系，得出＝73，商2是带分数的整数部分，余数1是分数部分的分子，分母不变，仍是3，由此的出 ＝ 。

总结第二类：把假分数转化成带分数，用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

4.总结：

把假分数转化成整数或带分数，用分子除以分母：

a．分子是分母倍数的，商是整数。

b．分子不是分母的倍数的，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

5、 练习：完成“做一做”。

三、课堂巩固。

完成练习十三第4－8题。

难点点拨

根据分数与除法的关系把假分数化成带分数，但是在解决实际问题时往往会出错。出错的原因有的是计算有误，更主要的是不能掌握把假分数化成带分数的方法。有一个小窍门可以帮助你，就是“两对应，一不变”。“两对应”是指商 整数部分，余数 分子 ，“一不变”指分母不变。

练习十三解答

1.真分数 假分数

2. 仔细观察图，先确定单位“1”，再写出分数。答案： 、 。

3. 根据分数的意义并结合实际，作出判断。

（1） 因为把1个西瓜看作单位“1”，吃的西瓜对应的分数应等于或小于1，绝不会大于1。

（2） 因为把这块地看作单位“1”，西红柿、茄子、和辣椒对应的分数和是 ，大于1了。

（3） √ 因为把这块巧克力看作单位“1”，我和表哥一共吃了 ，没有超过1。

4. 答案：

5. 可以根据分数与除法的关系解答。3人平分，列出算式：33= =1，因此，平均每人分 杯，也就是1杯；2人平分，列出算式32= ，因此平均每人分 杯。

6. 通过填数，感悟所填假分数和带分数的大小。从左往右，依次是、 、 、 、 、 、 。

7. 本题与第5题相似。可以先根据题意列出除法算式103，再根据分数与除法的关系写出带分数。答案是 。

8. 本题是求一个数是另一个数的几分之几的实际问题。同时渗透了倒数的概念。可以根据分数的意义直接写出答案，也可以先列出除法算式，再根据分数与除法的关系写出答案。答案：、 。（注：这部分知识以后还会学到，如果感到困难，可以跳过去不练。）

9. 本题与第8题解题的方法相同。答案： 。

10. 要求分别用假分数和带分数表示图中的涂色部分，进一步认识带分数是假分数的另一种书写形式。答案：或 或 。

11. 本小题与第8、9题的解题方法相同。答案是。

12. 先看表回答课本上的问题，再引导发现规律：从各行中找出分子与分母相同的分数，即， ， ， ，这些都是等于1的假分数，并且呈一条斜线，这条斜线右边的数是大于1的假分数，这条线的左边是真分数。

13. 答案：

（1） ， ， ， ， ， 。

（2） ， ， ， ， ， ， 。

分数的基本性质

学习内容

教科书第75——76页例1、例2，第76页“做一做”。

学习目标

1. 经历探索分数基本性质的过程，理解并掌握分数的基本性质。

2. 培养抽象、概括、迁移类推能力及解决实际问题的能力。

3. 通过学习，培养严谨的学习态度，体验探索的成功与喜悦。

学习重点

探索分数的基本性质，并会应用分数的基本性质解决问题。

学习难点根据整数除法中商不变的性质之间的关系总结、归纳分数的基本性质。

教学准备：每人准备4张同样大小的长方形纸（大小不限）

教学过程：

一、复习导入。

1、 根据分数与除法的关系填空。

被除数除数 说说：分数与除法的关系。

2、 提问：8020的商是多少？

被除数、除数都扩大5倍，商是多少？被除数和除数都缩小10倍呢？

回忆商不变性质（被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。）

（商不变的性质是学习分数基本性质的基础，所以这里的复习很有必要。）

二、 新课。

1、 动手做数学。

（1） 把4张相同的纸条分别平均分成2、4、6、8份，表示出1/2、2/4、3/6、4/8。

（涂上阴影）

（2） 提问：比较它们的长度、有什么发现？能根据分数的意义加以说明吗？

（3） 结论：几个分数虽然分母、分子都不相同，但大小是相等的。

2、 设疑：为什么分子、分母都不同的几个分数可以相等，它们之间有什么规律呢？

（1） 观察并研究分子、分母是按什么规律变化的？

1/2 =2/4 = 3/6 = 4/8 学生观察的顺序可以自选。

（2） 学生发现并归纳得出的规律（揭示：分数的基本性质）：

分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数分数的大小不变。

（3） 理解意义

提问：刚才我们根据分数的意义来说明分数的基本性质的。能不能根据分数与除法的关系和商不变的规律来说明呢？

先回忆商不变规律，然后想分数与除法的关系。突出关键点：零除外。（因为分数的分子和分母同时乘上0，则分数成为0／0 ，而分数的分母不能为0；又因为0不能作除数，所以分数的分子和分母不能同时除以0，因此要“0除外”。）

将分数的基本性质补充完整。

3、 应用性质、解决问题。

（1） 指出：应用分数的基本性质可以把一个分数化成分母不同而大小相等的分数。

（2） 把3/4和15/24化成分母是8而大小不变的分数。

要求：独立思考解答、交流方法

（3） 师生一起总结方法：

看分母（分子）乘或除以几、分子（分母）也同时乘或除以几。

（4） 独立完成练一练。

重点是：学生要能自觉根据分数的基本性质观察分母或分子是怎样变化的，相应地分子或分母就怎样变化。

变化的依据是分数的基本性质

（5） 口答练习十八第2题并说明判断的依据。

4、 全课总结：你能将这节课的内容及重点归纳概括一下吗？

5、 作业：完成练习十四1.2

理解并掌握分数的基本性质，同桌互相说分数并指定分母或分子让另一个同学化。

难点点拨

在运用分数的基本性质时，会出现以下几种错误：

①忽略了“同时”。举例说明 ＝ ＝ 是错误的，只是分子乘2，分母不变，正确答案应是 ＝ ＝ 。

②忽略了“乘上或者除以”。举例说明， ＝ ＝ 是错误的，因为分子和分母同时加上或者同时减去相同的数，分数的大小变了。在分数的基本性质中只限于“乘上或者除以”。

③忽略了“相同的数”。举例说明， ＝ ＝ 是错误的，因为分子和分母应同时除以相同的

练 习 十 四 解 答

1. 解答本题时，先按要求根据提供的分数进行涂色，第1幅图涂1份，第2幅涂2份，第3幅涂3份。然后通过观察涂色部分的大小，很容易的得出与 相等， 比 、 小的结果。除了借助观察得出结果，还可以根据分数的基本性质， 和 都化成 ，由此确定 与 相等，再根据三年级判断分数大小的经验，确定 比 小，也就是比 、 小。

2. 本题是运用分数的基本性质解决实际问题。可以把 化成 ，或者把化成 ，再作比较。答案是两个小组的人数同样多。

3. 这种游戏适合在两人间进行，通过对答可以巩固分数的基本性质。

4. 在解答此题时，可以运用分数的基本性质来判断哪几个数是相等的，然后在直线上把这个点画出来。先把这些分数化成与原分数相等的分母最小的分数。

＝ ＝ ＝ ＝

5. 本小题有两种方法是。一种是算出10分钟占一堂课40分钟的 ,另一种是推算出一堂课40分钟的 是10分钟。答案是两个班用的时间一样长。

6. 答案是 、 、 、 。

7. 左图应涂2份,用分数 表示。右图也应涂2份,用分数 表示。

8. 答案: ＝＝ ＝＝

＝＝ ＝＝

9. 解答此题有两种思路。

思路一：把所有的分数都化成分子是1的分数，再比较大小。

思路二：把所有的分数都化成分母是16的分数，再比较大小。答案是“知识城堡”“活动乐园”“生活园地”的版面一样大；“历史足迹”“开心一刻”的版面一样大。

10. 解答此题有三种思路。

思路一：把所有的分数都化成分母是100的分数，再进行大小比较。

思路二：把所有的分数都化成分母是25的分数，再进行大小的比较。

思路三：把所有的分数都化成分母是50的分数，再进行大小的比较。

不管用哪一种方法，都可以说明三个分数是相等的,也就是他的说法是对的。

求两个数的最大公因数

学习内容

教科书第79——81页例1、例2，第80、81页“做一做”，练习十五第1——3题。

学习目标

1. 理解并掌握公因数和最大公因数的意义。

2. 经历探索求两个数的最大公因数的方法的过程，能正确地求两个数的最大公因数。

3. 通过学习，提高自己解决实际问题的能力。

学习重点

公因数和最大公因数的意义，会求两个数的最大公因数。

学习难点

求最大公因数的方法。

教学过程

一、利用旧知，初步理解

1、 找出16和20的因数分别填写到圆圈内。

2、 如果把这两个圆圈交叉，把16和20的因数填写到这两个交叉的圆圈中，你能给他们找到位置吗？中间这部分该如何填写呢？

3、 交流答案。

4、 中间这部分填写的1、2、4就是16和20的公因数，其中的4就是它们的最大公因数。你能用自己的话说说什么是公因数，什么是最大公因数吗？

5、 这节课我们就来一起研究找两个数的最大公因数。

二、 自主学习，探究规律

1、 出示：21和24 你能找出21和24的公因数和最大公因数吗？

2、 汇报：

你是怎么找出的？有不同的方法吗？找最大公因数时在哪些数里找？

3、 出示：找出下面每组数的最大公因数：（小组研究交流）

8和16 20和10 1和14 5和7 3和11

4、 汇报：分别观察这几组数的特点，你有什么发现？ 你还能找出这样的一组数吗？

（根据实际情况，本课教学还是把旧教材中互质数、分解质因数、短除法纳进来，以利于最大公因数的教学。）

三、运用规律，巩固知识

请你找出下列分数分子和分母的最大公因数：

8/12 6/18 8/9 5/11 15/21 1/20 13/26

四、拓展应用，训练思维

1、 面包店的师傅制作了18个巧克力蛋挞，24个草莓蛋挞。面点师傅现在要把这两种糕点分别装到包装盒里摆到柜台上出售，每一盒数目相同，而且没有剩余。你知道都可以几个装一盒吗？哪种最实用呢？你是怎么想的？

2、 老师新买的房子，房子的厨房长30分米,宽24分米,要铺正方形瓷砖,需要边长为多少分米的方砖才能铺得既整齐又节约?你是怎么想的？选择哪种比较合适呢？

3、 我们一起来做个游戏，学号是1的同学起立，表示你学号的数字和1的最大公因数是1的同学起立。这说明什么？2号同学起立，代表你学号的数字和2的最大公因数是1的同学起立，你们都是几号？你有什么发现？在你的小组找一找两个同学之间学号数字的最大公因数。

求两个数的最大公因数有个小窍门：

1.连续的两个自然数的最大公因数一定是1。

2.两个质数的最大公因数一定是1。

3.当两数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。

4.当两数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。

难点点拨

求两个数的最大公因数只靠找的方法适合于较小的数。当两个数较大时很难找到。因此，用分解质因数的方法必须要掌握。可以仿照上面“做一做”的做法，先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数相乘。

公因数、最大公因数练习课P82

教学目标：

1．通过练习与对比，使学生发现与掌握求两个数的最大公因数的一些简捷方法，进行有条理的思考。

2．通过练习，使学生建立合理的认知结构，形成解决问题的多样策略。

3．在学生探索与交流的过程中，进一步体会数学知识的内在联系，感受数形结合的奥妙。

教学重点：理解公因数、最大公因数的意义。

教学难点：选用恰当的方法求两个数的最大公因数。

教学过程：

一、复习

1．提问：什么叫公因数？什么叫最大公因数？

2.求24和36的最大公因数。

归纳：求两个数的最大公因数，可以先分别求出每一个数的因数，然后把两个数的公因数写出来，它们中最大的一个就是这两个数的最大公因数。

3.填一填：

（1）9的因数： 18的因数： 9和18的公因数：

（2）15的因数： 50的因数： 15和50的公因数： 15和50个最大公因数：

（3）13的因数： 11的因数： 13和11的公因数： 11和13的最大公因数：

4.找出下列各数的公因数和最大公因数

5和13 6和7 5和8 6和12 9和3 25和10 4和68

5.反馈并说说求两数最大公因数的特殊情况。（倍数关系的两个数的最大公因数是较小数。两个数公因数只有1，它们的最大公因数是1。）

二、教学实施

1.用分解质因数的方法求两个数的最大公因数

（1）24和36的因数比较多，因此找最大公因数不方便。大家还有其它求最大公因数吗？

引导学生看教材第81 页的“你知道吗”，指导学生自学用分解质因数的方法，找两个数的最大公因数。

用分解质因数的方法求最大公因数分几步？（首先，对两个数分解质因数；其次，找出这两个数共有的质因数；再将这些共有的质因数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。）

板书：24=2223

36=2233

24 和36 的最大公因数=223=12

想一想，24和36的最大公因数为什么是它们全部公有质因数的乘积？（根据公因数的含义，这个数要是24的因数，又要是36的因数，所以这个数就必须包含24和36的公有质因数2、2和3。因为最大公因数是公因数中最大的，所以它就必须包括24和36的全部公有的质因数2、2和3。因此223=12就是24和36的最大公因数。

指出：两个数所有公有质因数的积，就是这两个数的最大公因数。

（2）用分解质因数的方法求下列每组数的最大公因数。

42和54 24和36 120和48

2．巩固练习

（1）教材82页1、3、4、5

第1题，巩固公因数的概念。

第3题，巩固求最大公因数的方法。

第4题，找最大公因数的练习，对后面的约分有帮助。

（2）教材83 页第7、8 、9题。

学生独立审题，理解题意，然后试着解答，集体交流。

第七题：剪出的小正方形的边长必须满足什么条件？

第八题：每排人数必须满足什么条件？你从哪里读懂的？

第九题：“截成同样长，没有剩余”是什么意思？这题实际上就是求什么？

3.课外延伸

找一找5和7，7和9的公因数。

互质数的理解：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

你还能举出这样的例子吗？互质的两个数必须是质数吗？

请举出例子。

三、课堂小结。

1. 学习了公因数和最大公因数，可以帮助我们解决生活中的实际问题，在后面的学习中，大家会逐渐体会到学习的作用。通过本节课的学习，主要又掌握了用分解质因数的方法找两个数的最大公因数的方法。同时，还在练习中感受到公因数和最大公因数在现实生活中有着广泛的应用，初步了解了它的应用价值。

2.两数关系：倍数关系；互质数关系；一般关系。说说分别怎样求它们的最大公因数？

四.综合练习。

1．填空题

（1）两个数的最大公因数是1，这两个数叫做 .

（2）5和22的最大公因数是 ，所以15和22 互质数。（填“是”或“不是”）.

（3）求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公有的 连乘，所得的积就是它们的最大公因数.

（4）36和60的公有的质因数是 ，所以它们的最大公因数是 .

（5）甲数＝223，乙数＝233，甲数和乙数的最大公因数是 .

（6）8和9的最大公因数是 ， 125和25的最大公因数是 。

（7）按要求写两个数，使它们的最大公因数是1。

两个数都是质数：（ ）和（ ）

两个数都是合数：（ ）和（ ）

一个质数一个合数：（ ）和（ ）

重点指导后面两种情况，讨论如何确保答案的准确性。

2．选择题

（1）下列每组数中的两个数是互质数的是…………………………………（ ）

A 35和36 B 27和36 C 7和21 D 78和26

说出其他每组数不是互质数的原因。

（2）甲数＝235，乙数＝711，甲数和乙数的最大公因数是………（ ）

A 甲数 B 乙数 C 1 D 没有

说出选择的依据。

（3）甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数是…………………………（ ）

A 甲数 B 乙数 C 1 D 没有

3.现在有30颗奶糖、24颗巧克力、36颗玉米糖，要把它们混合装成相同的小袋，最多可以装几袋？每袋共有几颗？

四、作业设计

1．求下面几组数的最大公因数

4和8 2和5 8和9

6和24 7和13 15和16

2. 如果48=22223，60=2235，

那么（48，60）=（ ）（ ）（ ）=（ ）。

3.如果A=abcd,B=bde,那么A和B的最大公约数就是（ ）。

板书：

倍数关系的两个数的最大公因数是较小数。

两个数公因数只有1，它们的最大公因数是1。

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

练 习 十 五 解 答

1. （1）10和15的公因数有：1，5。 （2）14和49的公因数有：1，7。

2. 巩固求两个数的最大公因数的方法。答案是：

6和9的最大公因数是3； 15和12的最大公因数是3；

42和54的最大公因数是6； 30和45的最大公因数是15；

5和9的最大公因数是1； 34和17的最大公因数是17；

16和48的最大公因数是16； 15和16的最大公因数是1。

3. 答案是：（1）A；（2）D；（3）C。

4. 答案是：1，4，18，3。

5. 从下往上分别是：5，3，6，12，36。

6. 本题的答案是不唯一的，可以各举一个例子。（1）两个数都是质数：2和3；（2）两个数都是合数：4和9；（3）一个质数一个合数：3和8。

7. 本题是两数的最大公因数在生活中的应用。可以这样思考：“剪出同样大小的正方形而没有剩余”，也就是正方形的边长必须是70和50的公因数，“边长最大是几厘米？”也就是求70和50的最大公因数。70和50的最大公因数是10，因此，剪出的小正方形的边长最大是10厘米。

8. 两数的最大公因数的实际应用。“要使每排人数相同”，每排的人数必须是48和36的公因数，“求每排最多有多少人”也就是求48和36的最大公因数。48和36的最大公因数是12，因此，每排最多有12人。这时，男生有4812＝4（排），女生有3612＝3（排）。

9*. “要把它们截成同样长的小棒”，每根小棒的长度应是12、16、44的公因数，“每根小棒最长是多少”就是求12、16、和44的最大公因数。12、16和44的最大公因数是4，因此，每根小棒最长是4厘米。

约分

学习内容

教科书第84——85页例3、例4，第84页和第85页的“做一做”，练习十六第1——3题。

学习目标

1. 在具体的情境中理解最简分数的意义，在自主探索中理解约分意义，并学会约分的方法。

2. 培养抽象、概括能力及初步运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养自主探索的良好学习习惯，感受数学与现实生活的密切联系。

学习重点

理解最简分数和约分的意义，探索出约分的方法。

学习难点

能否很快地找出分子和分母的公因数，判断结果是不是最简分数。

教学用具：实物投影仪、白纸、作业纸。

教学过程：

一、 导入。折纸活动。

1、 把一张纸平均折成若干份，给其中几份涂上颜色，汇报所得到的分数。

板书：1/2、1/4、1/8、2/4、3/4、2/8、、、、、、

2、 在分数大小不变的情况下，哪些分数的分子、分母不能再变小了？为什么？

小结：分子、分母是互质数的分数叫最简分数（板书）举例子。

(可进行专项练习，判断每组数是否是互质数:4和5 8和9 4和6 7和9 4和9 12和16等)

3、 那么，哪些分数的分子、分母还可以再变小？为什么可以？什么变了？什么没变？（再看看自己的纸想一想原因）

4、 小结：把一个分数化成大小不变、但是分子、分母比较小的分数的过程就是“约分”。（板书）今天我们就来学习这个内容。

二、 自学研究。

1、 问：关于约分，你还想通过看书了解什么知识？（意义、方法、作用、、、、、）

2、 看书、交流、质疑。

什么叫约分？关键是什么？根据是什么？方法是怎样？约分前后什么变了？什么没有变？大小不变

（相机板书：一个分数 ————→最简分数）

3、 教师板书示范：（黑板上几个） （注意强调书写格式，两种方法都可以，提醒学生约分后认真观察分子分母是不是互质数。）

4、 学生尝试约分：10/16 16/10 1又 6/8

三、 巩固练习。

1、 指出下面哪些分数是最简分数。你发现什么规律了吗？

1/2、1/3、1/4、4/5、2/3、5/6、11/12、10/15、9/12、11/7、3/1、1 又4/8

2、 把下面分数约分。10/12、12/15、15/25、21/35、45/60、40/90

3、 判断并且改错。

把一个分数化成分子、分母都比较小的分数，叫做约分。（ ）

分子和分母的公约数只有1的分数是最简分数。（ ）

最简分数一定是真分数。（ ）

6/8约分以后，分数单位变小了。（ ）

11/33、17/51、13/39、19/57都是最简分数。（ ）

4、 拓展题。

1、五、一节庙会，小华和小明进行枪打气球比赛。小华打了15枪中了12枪，小明打了10枪中了8枪。谁的枪法好些？

2、走同样长的路，甲用了18/30小时，乙用了16/20小时。谁的速度快些？为什么？

3、比较下面分数的大小。

4/14 10/25 30/50

四、回顾总结。1、有什么收获与疑惑？有没有约分解决不了的问题呢？

2、有没有建议？

难点点拨

1. 不能很快看出分子和分母的公因数或者最大公因数。平时要加强找公因数和最大公因数的训练。

2. 约分的结果不是最简分数。如： ＝ ，应是： ＝ ＝ 。

练 习 十 六解 答

1. 左图用 来表示，右图用 来表示，根据图示可以得出蓝色部分和红色部分同样大，也就是＝ 。可以用分数的基本性质来解释: 的分子、分母同时除以2，得到了 ，分数的大小不变。也可以继续思考： 的分子、分母也同时除以2，就可以得到 ，即 ＝ 。

2. ＝ ＝ ＝ ＝

3. 先根据最简分数的概念，判断哪些已经约成了最简分数，哪些还没有约成最简分数，然后把不是最简分数的继续约成最简分数。第2题约成了最简分数，第1、3、4题都没有约成最简分数。解答本题有两种格式：

（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝

（2） ＝ ＝ ＝

4. 可以用画连线的方法，也可以用标序号的方法，还可以用列举的方法表示答案。以列举法为例解答如下：

：

：

在约分时，遇到分母是分子的倍数时，分母是分子的几倍，约分后就是几分之一。

5. 三组分数都可以通过约分，化成最简分数，再比较大小。

（1） ＝ ， ＝ 。因为 ＝ ，所以 ＝ 。

（2） ＝ ， ＝ 。因为 ＞ ，所以 ＞ 。

（3） ＝ ， ＝ 。因为 ＜ ，所以 ＜ 。

6. 先把这些分数约分， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，可以确定 ＝ ＝ ， ＝ 。在直线上表示如下：

7. “求进入决赛的队占所有参赛队的几分之几？”用除法计算，列式为632，根据分数与除法的关系得出：632＝ ， 不是最简分数，因此把约分，得到了 。

8. 根据图中的两个时钟，可以得出睡眠的时间是9小时，求“每天大约有几分之几的时间处于睡眠状态？”用除法计算，列式为924，根据分数与除法的关系得出：924＝ ， 不是最简分数，因此把约分，得到了 。

9*. 这是一道需要逆思考的习题。“用2约了2次，用3约了1次”，说明原来的分数在约分的过程中，分子和分母同时乘以223＝12，才得到 。要求原来的分数，就要把的分子和分母同乘12，即： ＝ ＝ 。

辅导纪录:

学习约分后，学生往往不能一次约分成功，因为是初学，可以对一个分数进行多次约分，熟练之后再要求学生找到最大公约数进行约分.

最小公倍数

学习内容

教科书第88——90页例1、例2，第89、90页“做一做”，练习十七的第1——3题。

学习目标

1. 在自主探索中掌握公倍数和最小公倍数的意义，经历求最小公倍数的方法的过程，能正确地求两个数的最小公倍数。

2. 鼓励方法多样化，用自己理解的方式合理、灵活地解决问题，体会方法的多样性与合理性。

3. 继续培养自主探索、合作交流和从不同角度思考问题的良好学习习惯。

4. 感受数学与现实生活的密切联系，体会生活的丰富多彩。

学习重点

建立公倍数和最小公倍数的概念，掌握求最小公倍数的方法。

学习难点

理解求最小公倍数的算理。

教学过程

一、再现原有知识结构

1、用短除法求30与45的最大公因数

独立完成，一人板演，集体订正。

师提问：怎样用短除法求两个数的最大公因数？

二、构建新的知识结构

1、揭示课题 今天我们来研究最小公倍数。（板书课题）

2、明确意义

师：你认为什么是最小公倍数？

(公倍数可以是两个数公有的倍数，也可以是三个或四个数公有的倍数。应改成几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。)

生说完师出示，齐读。

3、探讨求法

出示：求4与5的最小公倍数。

师：你认为可以怎样求两个数的最小公倍数？

(1.用短除法 2.用分解质因数的方法。3.把两个数直接相乘 4.先写出一个数的倍数，再写出另一个数的倍数。通过比较找出两个数的最小公倍数。)

师：请你们用这种方法求出4与6的最小公倍数。

学生独立完成，一人板演。

4的倍数：4、8、12、16、20……

6的倍数：6、12、18、24、30……

4与6的最小公倍数是12

集体订正后，师问：用集合圈怎样表示？

学生独立完成，一人板演。板书如下：

4的倍数 6的倍数

4 8 6 18

16 20 12 24 30

… …

↑

4与6的最小公倍数

说明：中间交叉的地方不能只填最小公倍数，它们公有的地方应填它们的公倍数。还要填24 36…

师：还可以用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。先把这两个数分解质因数，找出它们公有的质因数，再找出它们独有的质因数，然后用它们公有的质因数去乘它们独有的质因数就求出了它们的最小公倍数。（板书如下）

4= 2 2

6= 2 3

4与6的最小公倍数是223=12

独立完成第89页做一做。

下面就以小组为单位研究短除法。

试求18与30的最小公倍数

小组合作完成，一组板演并讲解：先用它们公有的质因数2去除，再用3去除，3与5互质。所以18与30的最小公倍数是2335=90。（生讲解师板书）

公有的质因数→ 2 18 30

公有的质因数→ 3 9 15

3 5 ←互质数

师提问：用什么数去除？除到什么时候为止？把哪些数相乘？为什么？

联系：用短除法求30与42的最小公倍数。

独立完成，说说解答过程。

巩固练习：第90页做一做，找出发现的规律。

求两个数的最小公倍数的特殊情况：

1.当两个数是倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数。

2.当两个数只有公因数1时，它们的乘积就是它们的最小公倍数。

小窍门：求两个数的最小公倍数时可以先找出较大数的倍数，在从这些倍数中依次找较小数的倍数；如果数字较大，则可以用短除法。

难点点拨

如何很快地找出两个数的最小公倍数。求两个数的最小公倍数靠“找”的方法只适合于较小的数。当两个数较大时，很难找到。因此用分解质因数的方法可以帮助我们。可以仿照第92页“你知道吗”的做法，先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和它们独有的质因数相乘。

练 习 十 七 解 答

1. 解答本题有两种思路：

思路一：先分别从小到大写出每个数的几个倍数，从中找出两个数的最小公倍数，再依次写出小于90的其它的公倍数。最后进行判断。

以21和14为例。

21的倍数有21，42，63，…

14的倍数有14，28，42，…

21和14的公倍数是42，84…

21和14的公倍数中有84，没有36和48。

按以上的方法可以得出：6和18的公倍数中有36，没有48和84。

12和8的公倍数中有48，没有36和84。

思路二：分别判断36，48，84是不是每组两个数的倍数。如果是，公倍数中有这个数，如果不是，公倍数中就没有这个数。

以21和14为例。

36既不是21的倍数，也不是14的倍数，21和14的公倍数中没有36；

48既不是21的倍数，也不是14的倍数，21和14的公倍数中没有48；

84既是21的倍数，也是14的倍数，21和14的公倍数中有84。

2. 解答本题如下：

6的倍数有6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96。

10的倍数有10，20，30，40，50，60，70，80，90。

6和10的公倍数有30，60，90。

6和10的最小公倍数是30。

3. 本题是求两个数的最小公倍数的基本练习。

2和8的最小公倍数是8； 3和8的最小公倍数是24；

6和15的最小公倍数是30； 6和9的最小公倍数是18；

4和5的最小公倍数是20； 1和7的最小公倍数是7；

4和10的最小公倍数是20； 8和10的最小公倍数是40。

完成后，可以把以上的题进行归类：

两个数有倍数关系：2和8，1和7。这时，较大的数是它们的最小公倍数。

两个数只有公因数1：3和8，4和5。这时，它们的乘积就是它们的最小公倍数。

一般情况：6和15，6和9，4和10，8和10。这时,就按求两个数的最小公倍数的一般方法解决。

4. 本题是求两个数的最小公倍数的实际应用。要求“至少多少天以后给这两种花同时浇水”，就是求4和6的最小公倍数，4和6的最小公倍数是12，所以，答案是12天。

5. （1） 当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大的数。

（2）√ 两个数的积分别是这两个数的倍数，也就是他它们的公倍数。

6. 要求“这块正方形布料的边长至少是多少厘米”就是求8和10的最小公倍数。8和10的最小公倍数是40，因此，答案是40厘米。

7. 本题是求两个数的最小公倍数的实际应用。要求“至少过多少分钟两路车才第二次同时发车”就是求6和8的最小公倍数。6和8的最小公倍数是24，所以答案是24分钟。

8. 本题有两个小题。

（1）3和4的最小公倍数是12，所以，至少12分钟后两人在起点再次相遇。

124＝3（圈），123＝4（圈），所以爸爸、妈妈分别跑了4圈和3圈。

（2）此题具有一定的开放性。可以提出以下问题：

妈妈和小红同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？

爸爸和小红同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？

爸爸、妈妈和小红同时起跑，至少多少分钟后三人在起点再次相遇？

9*. 本题是一道拓展题。可以这样思考：

①按从小到大的顺序写出36的所有因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

②把36的所有的因数按一定的顺序进行选择，就可以得出所有的答案。

36和其它因数组合：36和1，36和2，36和3，36和4，…36和18。

其它因数组合：4和9，4和18，9和12，12和18。

通 分

学习内容

教科书第93——94页例3、例4，第94页的“做一做”，练习十八第1——3题。

学习目标

1. 在自主探索中理解通分的意义，并学会通分的方法。

2. 培养抽象、概括、迁移、类推能力。

3. 培养认真、仔细的良好的学习习惯，感受数学与现实生活的密切联系。

学习重点

理解通分的意义，探索出通分的方法。

学习难点

理解通分的道理。

教学过程

一、复习旧知

出示例3，学生比较3/10和7/10的大小。

（1.根据分数的意义判断。把地球面积看作单位“1”，把它平均分成了10份，陆地只占3份，海洋占了7份。7份比3份大，所以 ＜ 。2.根据分数单位来判断。 里面有3个 ， 里面有7个 。所以 ＜ 。)