北师大初中数学八年级上册三角形的外角2教案

三角形的外角教案

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上．

(2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

②两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，△ABC中，∠A=70，∠B=60，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢

由学生归纳得出：

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．

证明：(略)．

例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62，∠ACD=35，∠ABE=20．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．

解：(略)．

活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．

注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

第三环节：课堂练习

活动内容：

① 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC

分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.

证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠B=∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=∠EAC

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∵∠B+∠BAC+∠C=180

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180

即：∠B+∠DAB=180

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

②已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．

证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1>∠2（不等式的性质）

③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.

（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1>∠3.

∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）

即：∠BDC>∠BAC.

（2）连结AD，并延长AD，如图.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.

则∠BDC是△CDE的一个外角.

∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）