北师大初中九年级数学下册圆内接正多边形教案

圆内接正多边形教案

1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)

2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)

3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)

一、情境导入

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

二、合作探究

探究点：圆内接正多边形

【类型一】圆内接正多边形的相关计算

已知正六边形的边心距为，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．

解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．

解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝360＝60，∴中心角是60.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝，sin∠OBC＝＝，∴OB＝BC＝2.∴内角为＝120，外角为60，周长为26＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝62＝6.

方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题

【类型二】圆内接正多边形的画法

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120，∠BOC＝120；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120；

(2)在⊙O上用圆规截取＝；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合

如图，已知正三角形的边长为2a.

(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？

(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a.则S圆环＝πOB2－πOD2＝πOB2－OD2＝πBD2＝πa2；

(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；

(3)结果一样，即S圆环＝πa2；

(4)S圆环＝πa2.

方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】圆内接正多边形的实际运用

如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)．

(1)求地基的中心到边缘的距离；

(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是＝36，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是2610＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．