北师大初中九年级数学下册正弦与余弦1教案
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- 作者:老余工作室
正弦与余弦教案
1.理解正弦与余弦的概念;(重点)
2.能用正弦、余弦的知识,根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.(难点)
一、情境导入
如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m,他的相对位置升高了5m.
如果他沿着该斜坡行走了20m,那么他的相对位置升高了多少?行走了am呢?
在上述情形中,小明的位置沿水平方向又分别移动了多少?
根据相似三角形的性质可知,当直角三角形的一个锐角的大小确定时,它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了.
二、合作探究
探究点:正弦和余弦
【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值
在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,BC=5,求sinA,cosA.
解析:利用勾股定理求出AC,然后根据正弦和余弦的定义计算即可.
解:由勾股定理得AC===12,sinA==,cosA==.
方法总结:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,熟记三角函数的定义是解决问题的关键.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值
如图,在△ABC中,∠C=90,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=,求sinB的值.
解析:先由AD=BC=5,cos∠ADC=及勾股定理求出AC及AB的长,再由锐角三角函数的定义解答.
解:∵AD=BC=5,cos∠ADC=,∴CD=3.在Rt△ACD中,∵AD=5,CD=3,∴AC===4.在Rt△ACB中,∵AC=4,BC=5,∴AB===,∴sinB=== .
方法总结:在不同的直角三角形中,要根据三角函数的定义,分清它们的边角关系,结合勾股定理是解答此类问题的关键.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型三】比较三角函数的大小
sin70,cos70,tan70的大小关系是()
A.tan70<cos70<sin70
B.cos70<tan70<sin70
C.sin70<cos70<tan70
D.cos70<sin70<tan70
解析:根据锐角三角函数的概念,知sin70<1,cos70<1,tan70>1.又cos70=sin20,锐角的正弦值随着角的增大而增大,∴sin70>sin20=cos70.故选D.
方法总结:当角度在0<∠A<90间变化时,0
cosA>0.当角度在45<∠A<90间变化时,tanA>1. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型四】与三角函数有关的探究性问题
在Rt△ABC中,∠C=90,D为BC边(除端点外)上的一点,设∠ADC=α,∠B=β.
(1)猜想sinα与sinβ的大小关系;
(2)试证明你的结论.
解析:(1)因为在△ABD中,∠ADC为△ABD的外角,可知∠ADC>∠B,可猜想sinα>sinβ;(2)利用三角函数的定义可求出sinα,sinβ的关系式即可得出结论.
解:(1)猜想:sinα>sinβ;
(2)∵∠C=90,∴sinα=,sinβ= .∵AD<AB,∴>,即sinα>sinβ.
方法总结:利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比,然后进行比较是解题的关键.
【类型五】三角函数的综合应用
如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=,BC=36,求AD的长.
解析:(1)根据高的定义得到∠ADB=∠ADC=90,再分别利用正切和余弦的定义得到tanB=,cos∠DAC=,再利用tanB=cos∠DAC得到=,所以AC=BD;(2)在Rt△ACD中,根据正弦的定义得sinC==,可设AD=12k,AC=13k,再根据勾股定理计算出CD=5k,由于BD=AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36,解得k=2,所以AD=24.
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