人教A版高中数学必修二事件的相互独立性教学设计

课题

10.2事件的相互独立性

单元

第十单元

学科

数学

年级

高一

教材分析

本节内容是在事件的关系与运算的基础上，根据事件概率的特性，研究事件的相互独立性及其概率的计算。

教学目标与核心素养

1.数学抽象：利用事件的相互独立性计算事件发生的概率；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.数学建模：掌握概率的计算。

4.直观想象：通过概率直观估计事件发生的可能性；

5.数学运算:能够正确计算概率；

6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

事件的相互独立性及其概率的计算。

难点

事件的相互独立性及其概率的计算。

教学过程

导入新课

问题导入：

问题一：试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币正面朝上”。

事件A的发生是否影响事件B的概率？

因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率。

问题二：计算试验1中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么发现？

在该试验中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}，包含4个等可能的样本点。

而A={（1，1），（1，0）}，B={（1，0），（0，0）}

所以AB={（1，0）}

由古典概率模型概率计算公式，

得P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25， 于是 P(AB)=P(A)P(B)

积事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘积。

问题三：试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”。

事件A的发生是否影响事件B的概率？

因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率。

问题四：计算试验2中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么发现？

在该试验中，样本空间Ω={（m，n）|m,n∈{1，2，3，4}}

而A={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）}

B={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}

AB={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}

所以P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25， 于是 P(AB)=P(A)P(B)

积事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘积。

学生利用问题情景，引出本节新课内容——事件的相互独立性。

根据试验，判断A、B、AB的概率之间的关系

设置问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。

培养学生学会整体思考的方法和能力。

讲授新课

新知讲授——事件的相互独立性

事件的相互独立性定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立。

性质：由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事件Φ都与任意事件相互独立。

这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件Φ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响。当然，它们也不影响其他事件是否发生。

思考一：以有放回摸球试验为例，验证事件 是否独立。

思考二：互斥事件与相互独立事件有什么区别？

例题讲解

例1、一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与B是否相互独立？

解：因为样本空间Ω={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4}，且m≠n}

A={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}

B={（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}

方法总结

判断事件相互独立的步骤：

1、写出样本空间Ω，并计算样本点个数；

2、分别写出事件的所有基本事件，并计算个数；

3、计算P(A),P(B),P(AB);

4、判断P(AB)与P(A)P(B)是否相等；

若相等，则相互独立；若不相等，则不独立。

思考三：如果事件A与事件B相互独立，那么P（AB）如何计算？

事件的相互独立性定义是：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立。

因此P(AB)=P(A)P(B).

知识拓展

如果事件A1，A2，A3，…，An是相互独立的，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，

即P(A1A2A3…An)

=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).

例2、甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶。

例3、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对三个成语的概率。例4、三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．

求较为复杂事件的概率的方法

(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

常用的相互独立事件的概率

课堂巩固

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在1局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局.

(1)求再赛两局结束这次比赛的概率;

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

解：记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i=3，4，5，Bj表示事件“第j局乙获胜”，j=3，4.

(1)记A表示事件“再赛两局结束比赛”，则A=A3A4＋B3B4.

由于各局比赛结果相互独立，故P(A)=P(A3A4＋B3B4)=P(A3A4)＋P(B3B4)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)=0.60.6＋0.40.4=0.52.

(2)记B表示事件“甲获得这次比赛的胜利”.

因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5.由于各局比赛结果相互独立，

故P(B)=P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.6＋0.40.60.6＋0.60.40.6=0.648.

【小结】在实际比赛中要注意各场比赛的结果是否相互影响，并把随机事件拆分为若干个相互独立事件的乘积，对于多种情况的互斥事件利用加法计算.

学生根据上述问题，探究事件的相互独立性。

对比互斥事件和相互独立事件。

学生分组合作，探究得出独立事件的概率计算。

通过例题加强理解事件的独立性。

求较为复杂事件的概率

总结

学生和教师共同探究完成课堂巩固题。

利用问题情境探究得出事件的相互独立性定义,培养学生探索的精神.

给学生养成对比学习的学习习惯。

通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。

利用例题加深本节课的内容。

拓展提升

总结常用的相互独立事件的概率

巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。