北师大初中八年级数学下册等腰三角形的判定与反证法教案

等腰三角形的判定与反证法教案

1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)

2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．

一、情境导入

某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．

同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．

二、合作探究

探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)

【类型一】确定等腰三角形的个数

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()

A．5个 B．4个

C．3个 D．2个

解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180－36)＝72.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.

方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．

【类型二】判定一个三角形是等腰三角形

如图，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∴∠B＋∠BAC＝90.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．

方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【类型三】等腰三角形性质和判定的综合运用

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.

(1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝50时，求∠DEF的度数．

解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.

(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；

(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50，AB＝AC，∴∠B＝(180－50)＝65，∴∠DEF＝65.

方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

探究点二：反证法

【类型一】假设

用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60”时，首先应假设这个三角形中()

A．有一个内角大于60

B．有一个内角小于60

C．每一个内角都大于60

D．每一个内角都小于60

解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60，即都大于60.故选C.

方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．

【类型二】用反证法证明一个命题

求证：△ABC中不能有两个钝角．

解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．