北师大初中数学九年级上册矩形的判定1教案

矩形的判定教案

1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)

一、情景导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！

二、合作探究

探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形

如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．

解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.

∵AM＝BP＝CN＝DQ，

∴OM＝OP＝ON＝OQ.

∴四边形MPNQ是平行四边形．

又∵OM＋ON＝OQ＋OP，

∴MN＝PQ.

∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．

探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．

解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．

证明：∵GE∥HF，

∴∠GAB＋∠ABH＝180.

∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，

∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，

∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝180＝90，

∴∠ADB＝180－(∠1＋∠4)＝90.

同理可得∠ACB＝90.

又∵∠ABH＋∠FBA＝180，

∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，

∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝180＝90，即∠DBC＝90.

∴四边形ADBC是矩形．

方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．

探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形

如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.

(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.

解：(1)BD＝CD.理由如下：

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF＝DC.

∵AF＝BD，

∴BD＝DC；

(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∴AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90.

∴四边形AFBD是矩形．

方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．