北师大初中九年级数学下册30°，45°，60°角的三角函数值1教案

30，45，60角的三角函数值教案

1．经历探索30，45，60角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)

2．能够进行30，45，60角的三角函数值的计算；(重点)

3．能够根据30，45，60角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)

一、情境导入

在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？

二、合作探究

探究点一：30，45，60角的三角函数值

【类型一】利用特殊角的三角函数值进行计算

计算：

(1)2cos60sin30－sin45sin60；

(2).

解析：将特殊角的三角函数值代入求解．

解：(1)原式＝2－＝－＝－1；(2)原式＝＝2－3.

方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】已知三角函数值求角的取值范围

若cosα＝，则锐角α的大致范围是()

A．0＜α＜30 B．30＜α＜45

C．45＜α＜60 D．0＜α＜30

解析：∵cos30＝，cos45＝，cos60＝，且＜＜，∴cos60＜cosα＜cos45，∴锐角α的范围是45＜α＜60.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型三】已知三角函数值，求角度

根据下列条件，确定锐角α的值：

(1)cos(α＋10)－＝0；

(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0.

解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．

解：(1)cos(α＋10)＝，α＋10＝30，∴α＝20；(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0，(tanα－1)(tanα－)＝0，tanα＝1或tanα＝，∴α＝45或α＝30.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】特殊角的三角函数值与其他知识的综合

已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．

解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45，∠B＝60，∠C＝180－45－60＝75，∴△ABC是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型二】利用特殊角的三角函数值求三角形的边长

如图所示，在△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AD是△ABC的角平分线，若AC＝，求线段AD的长．

解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，再求出∠CAD＝30，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度．

解：∵△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，∴∠BAC＝60.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30，∴在Rt△ADC中，AD＝＝＝2.

方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

【类型三】构造三角函数模型解决问题

要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30，∴tan30＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15与tan75的值．

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15＝，tan75＝.

解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15＝＝2－，tan75＝＝＝2＋.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15和75的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15和75的三角函数值．