人教版高中数学选修3二项式系数的性质教学设计

课程目标

学科素养

A.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.

B.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.

1.数学抽象：二项式系数的性质

2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性

3.数学运算：运用二项式性质解决问题

4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1．二项式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)ⁿ的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Caⁿ＋Ca^n－1b＋Ca^n－2b²＋…＋Ca^n－kb^k＋…＋Cbⁿ

n＋1 ；C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)ⁿ展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作T_k＋1＝______.

k＋1 ；Ca^n－kb^k

二、新知探究

探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表

二项式系数:

通过计算、填表、你发现了什么规律？

将上表写成如下形式：

思考：通过上表和上图，能发现什么规律？

展开式的二项式系数

我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，其定义域是

我们还可以画出它的图像。

例如，当时，

函数()的图像是7个离散的点，如图所示。

1.对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.

2.增减性与最大值

当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.

探究2.已知 =

3.各二项式系数的和

令x=1 得=

所以，的展开式的各二项式系数之和为

1. 在(a+b)⁸的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)⁹的展开式中,二项式系数最大的项为 .

解析:因为(a+b)⁸的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a⁴b⁴=70a⁴b⁴.

因为(a+b)⁹的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为a⁵b⁴=126a⁵b⁴,a⁴b⁵=126a⁴b⁵.

答案:1.70a⁴b⁴ 126a⁵b⁴与126a⁴b⁵

2. A=+…与B=+…的大小关系是( )

A.A>B B.A=B C.A不确定

通过回顾二项式定理，从数学知识内部提出问题，引导学生观察、发现二项式系数的性质。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得二项式性质的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，让学生体会利用二项式系数的性质，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.(1-x)¹³的展开式中系数最小的项为( )

A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项

解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.

答案:C

2.已知+2+2²+…+2ⁿ=729,则的值等于( )

A.64 B.32 C.63 D.31

解析:由已知(1+2)ⁿ=3ⁿ=729,解得n=6.

则=32.

答案:B

3.已知(1+x)ⁿ的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )

解析:因为(1+x)ⁿ的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,

所以,解得n=10,

所以二项式(1+x)¹⁰中奇数项的二项式系数和为2¹⁰=2⁹.

答案:D

4.已知+2xⁿ的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .

解析:由=37,得1+n+n(n-1)=37,

解得n=8(负值舍去),

则第5项的二项式系数最大,

T₅=(2x)⁴=x⁴,该项的系数为

答案:

5.已知+2xⁿ,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.