人教版高中数学选修3二项式定理教学设计

课程目标

学科素养

A. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；

B.会应用二项式定理求解二项展开式；

C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.

1.数学抽象：二项式定理

2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理

3.数学运算：运用二项式定理解决问题

4.数学建模：在具体情境中运用二项式定理

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题探究

上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。

问题1：我们知道

=a²+2ab+b²,

（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？

（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？

（3）进一步地，你能写出的展开式吗？

我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，

可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（=0,1,2）的形式.

由上述

问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？

类似

1．二项式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)ⁿ的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Caⁿ＋Ca^n－1b＋Ca^n－2b²＋…＋Ca^n－kb^k＋…＋Cbⁿ

n＋1 ；C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)ⁿ展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作T_k＋1＝______.

k＋1 ；Ca^n－kb^k

二项式定理形式上的特点

(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.

(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.

(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2ⁿ,即+…+=2ⁿ.

(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)(a＋b)ⁿ展开式中共有n项． ( )

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( )

(3)Ca^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展开式中的第k项． ( )

(4)(a－b)ⁿ与(a＋b)ⁿ的二项式展开式的二项式系数相同． ( )

[解析] (1) 因为(a＋b)ⁿ展开式中共有n＋1项．

(2) 因为二项式的第k＋1项Ca^n－kb^k和(b＋a)ⁿ的展开式的

第k＋1项Cb^n－ka^k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

(3) 因为Ca^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展开式中的第k＋1项．

(4)√ 因为(a－b)ⁿ与(a＋b)ⁿ的二项式展开式的二项式系数都是C.

[答案] (1) (2) (3) (4)√

二、典例解析

例1.求的展开式.

解：根据二项式定理

1.(a+b)ⁿ的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

因此,展开式第4项的系数是280.

（2） 的展开式的通项是

根据题意，得，

因此，

二项式系数与项的系数的求解策略

(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)⁷的展开式中,第4项是T₄=1^7-3(2x)³,其二项式系数是=35,而第4项的系数是2³=280.

跟踪训练2. (1)求二项式2⁶的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;

(2)求x-⁹的展开式中x³的系数.

解:(1)由已知得二项展开式的通项为

∴T₆=-12

∴第6项的二项式系数为=6,

第6项的系数为(-1)⁵2=-12.

(2)设展开式中的第k+1项为含x³的项,则

T_k+1=x^9-k-^k=(-1)^kx^9-2k,

令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x³,其系数为(-1)³=-84.

学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，说出自己见解。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程，巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.(a+b)²ⁿ的展开式的项数是( )

A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)

解析:易知二项式(a+b)²ⁿ的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.

答案:B

2.(2a+b)⁵的展开式的第3项是( )

解析:T₂₊₁=(2a)³b²=2³a³b².

答案:B

3.二项式的展开式中有理项共有 项.

解析:根据二项式定理的通项

T_k+1=.

当取有理项时,为整数,

此时k=0,2,4,6.故共有4项.

答案:4

4.如果()ⁿ的展开式中,含x²的项为第三项,则自然数n= .

解析:T_k+1=)^n-k()^k=,由题意知当k=2时,=2,解得n=8. 答案:8

5.已知m,n∈N^*,f(x)=(1+x)^m+(1+x)ⁿ的展开式中x的系数为19,求x²的系数的最小值及此时展开式中x⁷的系数.

解:由题设知m+n=19,又m,n∈N^*,∴1≤m≤18.

x²的系数为(m²-m)+(n²-n)=m²-19m+171.

∴当m=9或10时,x²的系数的最小值为81,

此时x⁷的系数为=156.

6.已知在的展开式中,第6项为常数项.

(1)求n;

(2)求含x²的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.

分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。