北师大初中九年级数学下册垂径定理教案
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垂径定理教案
1.理解垂径定理和推论的内容,并会证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题;(重点)
2.利用垂径定理及其推论解决实际问题.(难点)
一、情境导入
如图①某公园中央地上有一些大理石球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示),他量了下两砖之间的距离刚好是80cm,聪明的你能算出大石头的半径吗?
二、合作探究
探究点一:垂径定理
【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度
如图所示,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是()
A.2cm B.3cm
C.4cm D.4cm
解析:∵直径AB⊥DC,CD=6,∴DP=3.连接OD,∵P是OB的中点,设OP为x,则OD为2x,在Rt△DOP中,根据勾股定理列方程32+x2=(2x)2,解得x=.∴OD=2,∴AB=4.故选D.
方法总结:我们常常连接半径,利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形,然后应用勾股定理解决问题.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】垂径定理的实际应用
如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是________m.
解析:本题考查垂径定理,∵OC⊥AB,AB=300m,∴AD=150m.设半径为R,根据勾股定理可列方程R2=(R-50)2+1502,解得R=250.故答案为250.
方法总结:将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】垂径定理的综合应用
如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.(1)请证明:点E是OB的中点;(2)若AB=8,求CD的长.
解析:(1)要证明E是OB的中点,只要求证OE=OB=OC,即∠OCE=30;(2)在直角△OCE中,根据勾股定理可以解得CE的长,进而求出CD的长.
(1)证明:连接AC,如图,∵直径AB垂直于弦CD于点E,∴=,∴AC=AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD,∴AF=DF,即CF是AD的垂直平分线,∴AC=CD,∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形,∴∠FCD=30.在Rt△COE中,OE=OC,∴OE=OB,∴点E为OB的中点;
(2)解:在Rt△OCE中,AB=8,∴OC=OB=AB=4.又∵BE=OE,∴OE=2,∴CE===2,∴CD=2CE=4.
方法总结:解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二:垂径定理的推论
【类型一】利用垂径定理的推论求角的度数
如图所示,⊙O的弦AB、AC的夹角为50,M、N分别是、的中点,则∠MON的度数是()
A.100 B.110
C.120 D.130
解析:已知M、N分别是、的中点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC,所以∠AEO=∠AFO=90,而∠BAC=50,由四边形内角和定理得∠MON=360-∠AEO-∠AFO-∠BAC=360-90-90-50=130.故选D.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题.
【类型二】利用垂径定理的推论求边的长度
如图,点A、B是⊙O上两点,AB=10cm,点P是⊙O上的动点(与A、B不重合),连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,求EF的长.
解析:运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线,然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系,从而解决问题.
解:在⊙O中,∵OE⊥AP,OF⊥PB,∴AE=PE,BF=PF,∴EF是△ABP的中位线,∴EF=AB=10=5(cm).
方法总结:垂径定理虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】动点问题
如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
解析:当点P处于弦AB的端点时,OP最长,此时OP为半径的长;当OP⊥AB时,OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长.
解:作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=AB=4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA,∴OA=5cm.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD==3cm.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.
方法总结:解题的关键是明确OP最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解.容易出错的地方是不能确定最值时的情况.
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